Matematyka.pl

Zbadać czy podane układy wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych:

a) \(\displaystyle{ {(1,2,0),(-1,0,3),(0,-2,-3)},R^{3}}\)
c) \(\displaystyle{ {(1,-1,0,2),(1,0,3,0),(0,1,3,0),(0,0,0,1)},R^{4}}\)


Wystarczy tylko policzyć wyznacznik utworzony z tych wektorów i jeżeli \(\displaystyle{ detA \neq 0}\) to są bazami? Czy coś jeszcze?

Wystarczy, ponieważ gdyby się okazało, że są liniowo niezależne (wyznacznik rożny od zera), to ich liczba równa jest wymiarowi przestrzeni, czyli generują całą przestrzeń.

Mógłbyś trochę bardziej wytłumaczyć to generowanie przestrzeni? Nie do końca to rozumiem chyba.

To znaczy, że np. ten pierwszy układ trzech wektorów rozpina przestrzeń. Inaczej mówiąc dowolny wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) da sie przedstawić jako kombinacja liniowa trzech podanych.

Dokładniej, jeżeli oznaczymy te podane wektory przez \(\displaystyle{ \vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}}\), to biorąc dowolny wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) znajdziemy skalary (liczby) \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\), takie że

\(\displaystyle{ \vec{v}=\alpha_1\vec{u_1}+\alpha_2\vec{u_2}+\alpha_3\vec{u_3}}\)

Sprowadza się to (po podstawieniu współrzędnych) do rozwiązania układu równań \(\displaystyle{ 3\times3}\) o wyznaczniku głównym zbudowanym ze współrzędnych wektorów. A skoro ten wyznacznik jest różny od zera, to układ jest Cramerowski i ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Analogicznie z drugim zestawem wektorów i czterema współrzędnymi.

Tyle, że w tym przypadku mamy to zagwarantowane, bo liczba wektorów w bazie jest równa wymiarowi przestrzeni, a wymiar np. \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\), a my mamy właśnie trzy wektory.