Matematyka.pl

Niech macierz kwadratowa A spelnia warunek \(\displaystyle{ A^{n} = \left[ 0\right]}\) dla pewnej liczby naturalnej n, gdzie \(\displaystyle{ \left[ 0\right]}\) oznacza macierz zerową. Udowodnić, że macierz I + A jest odwracalna.
Prosze o wskazówki.

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie największą liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ A^n \neq 0}\). Rozpatrz macierz \(\displaystyle{ B = I - A + A^2 - A^3 + \ldots + (-1)^n A^n}\). Pokaż, że macierz \(\displaystyle{ B}\) jest odwrotną do \(\displaystyle{ I+A}\) - w tym celu wymnóż \(\displaystyle{ B(I+A)}\) i zauważ, że otrzymasz \(\displaystyle{ I}\).