Matematyka.pl

Różnica kwadratów dwóch liczb naturalnych wynosi 2007.Znajdź wszystkie liczby spełniające ten warunek.
Z góry dzięki !

Rozłóż to i potem popatrz na dzielniki 2007.

Prosiłbym o dokładne rozwiązanie,a nie o pomysł jak rozwiązać

Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą liczbami, których różnica kwadratów jest równa \(\displaystyle{ 2007}\). Zapiszmy to:

\(\displaystyle{ x^2-y^2=2007}\)

Jak łatwo widać, jest to hiperbola równoosiowa. Wystarczy, że wybierzesz na niej wszystkie punkty o współrzędnych całkowitych.

Spróbuj sam na podstawie 1 odp i wrzuć co Ci wyszło

\(\displaystyle{ Dz=\{x, y: x \in \RR \wedge y \in \NN\}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=2007}\)

Można jeszcze logicznie rozłożyć.

\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}\)

\(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=2007}\)

Zauważmy, że suma tych liczb jest większa od ich różnicy zatem mamy do czynienia z dwoma czynnikami, z których \(\displaystyle{ x-y \le x+y}\) (jeden - różnica - jest zawsze mniejszy [lub równy] względem drugiego).

Liczba 2007 rozłożona na czynniki to: \(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot 223}\).

Reszty nie piszę. Spróbuj sam to rozwiązać.

Dobra już to rozwiązałem
Skoro
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot 223=2007}\)
i
\(\displaystyle{ x ^{2}=(x+y)(x-y)}\)
to z nawiasów może wyjść tylko:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 669}\)

\(\displaystyle{ 9 \cdot 223}\)

\(\displaystyle{ 1 \cdot 2007}\)

Podstawiłem to potem pod układy równań np.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=669 \\ a-b=3 \end{cases}}\)
rozwiązałem i zrobiłem sprawdzenie
Dzięki za pomoc!