Matematyka.pl

Samochód wyruszył z Krakowa o 08:00 i jadąc ze zmienną prędkością dotarł do Gniezna o 15:00. Następnego dnia o 08:00 wyruszył z powrotem, i jadąc tą samą drogą wrócił do Krakowa o 15:00. Udowodnij, że jest takie miejsce na drodze, w którym samochód był o tej samej godzinie zarówno jadąc do Gniezna, jak i jadąc do Krakowa.

Proszę o wskazówki. Wiem tylko, że muszę uzasadnić, że wykresy drogi od czasu dla tych ruchów muszą przecinać się w co najmniej jednym punkcie, aby warunek zadania był spełniony. Tylko w jaki sposób?

Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)}\) opisują odległość samochodu od Krakowa w funkcji czasu. Możemy bez straty ogólności przyjąć, że odległość od Krakowa do Gniezna to \(\displaystyle{ 1}\).

Mamy \(\displaystyle{ f(8)=0, f(15)=1}\) oraz \(\displaystyle{ g(8)=1}\) i \(\displaystyle{ g(15)=0}\). Zbadaj zachowanie funkcji \(\displaystyle{ h(x):=g(x)-f(x)}\).

Właśnie nie wiem jak to zbadać.. Zaczęłam tu od przypadku, gdy \(\displaystyle{ h(0)=f(0)-g(0)}\).
- jeśli \(\displaystyle{ f(0)=g(0)}\), to koniec.
- ale jak zbadac sytuację, kiedy \(\displaystyle{ f(0) \neq g(0)}\)?

Dlaczego liczysz coś w zerze? Funkcje definiujemy na przedziale \(\displaystyle{ [8;15]}\). Jakie są wartości funkcji \(\displaystyle{ h}\) na końcach przedziałów?