Matematyka.pl

Obiekt porusza się skokami na przemian w przód i w tył. Skoki są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym przy czym skoki w przód i w tył mają srednie w przód \(\displaystyle{ 1}\)m w tył \(\displaystyle{ 25}\)cm. Jaka jest szansa ze po wykonaniu \(\displaystyle{ 400}\) skoków obiekt oddali się od punktu startowego o \(\displaystyle{ 180}\)m lub więcej?

\(\displaystyle{ X_{i}}\) - i-ty skok w przód
\(\displaystyle{ Y_{j}}\) - j-ty skok w tył
\(\displaystyle{ Z_{k}=X_{i}-Y_{j}}\) równica po skoku w przód i w tył
\(\displaystyle{ EX_{i}= \frac{1}{100}}\)
\(\displaystyle{ EY_{j}= \frac{1}{25}}\)

Skoro niezależne to
\(\displaystyle{ EZ_{k}=\frac{1}{100}-\frac{1}{25}}\)?

Skoro niezależne to

Tu nie potrzeba niezależności. To zwykła liniowość całki. Poza tym średnie masz podane, a liczysz je źle

Szukamy

\(\displaystyle{ P\left( \left| \sum_{k=1}^{200}Z_k\right| \ge 180 \right) = P\left( \left| \sum_{k=1}^{200}(X_k - Y_k )\right| \ge 180 \right)}\)

Ponieważ chcemy użyć CTG, dokładny rozkład tych różnic nie jest nam potrzebny. Wystarczy nam ich wartość oczekiwana i wariancja

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z_k = 1- 0,25 = 0,75\\ \
VarZ_k = VarX_k +VarY_k = 1 + 0,0625}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ P\left( \left| \sum_{k=1}^{200}Z_k\right| \ge 180 \right) = P\left( \sum_{k=1}^{200}Z_k \ge 180 \right) + P\left( \sum_{k=1}^{200}Z_k \le -180 \right) = \\ \\
= P\left( \frac{\sum_{k=1}^{200}(Z_k -\mathbb{E}Z_k ) }{\sqrt{200VarZ_k}} \ge \frac{180-200\mathbb{E}Z_k }{\sqrt{200VarZ_k}} \right) + P\left( \frac{\sum_{k=1}^{200}(Z_k -\mathbb{E}Z_k ) }{\sqrt{200VarZ_k}} \le \frac{-180-200\mathbb{E}Z_k}{\sqrt{200VarZ_k}} \right) \approx \\ \\
\approx \left[ 1 - \Phi \left( \frac{180-200\mathbb{E}Z_k }{\sqrt{200VarZ_k}} \right) \right] + \Phi \left( \frac{-180-200\mathbb{E}Z_k}{\sqrt{200VarZ_k}} \right)}\)

Jeszcze takie pytania:
sumujemy do \(\displaystyle{ 200}\) bo \(\displaystyle{ Z_{k}}\) to róznica dwóch skoków czyli \(\displaystyle{ \frac{400}{2}}\)?
wartosci oczekiwane odejmujemy,to wariancje tez powinnismy odjąć?

No razem 400 skoków, co daje po 200 skoków w każdą stronę.

wartosci oczekiwane odejmujemy,to wariancje tez powinnismy odjąć?

Podstawowe własności wariancji się kłaniają Tym sposobem moglibyśmy dostać ujemną wariancję, co byłoby kompletną bzdurą.

Faktycznie,dzięki;)