Matematyka.pl

Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) to dla każdego wartościowania \(\displaystyle{ a}\) w \(\displaystyle{ A}\) mamy:
a) jeśli \(\displaystyle{ A\models\psi[a]}\) to \(\displaystyle{ B\models\psi[a]}\) dla każdej egzystencjonalnej formuły \(\displaystyle{ \psi}\)
b) jeśli \(\displaystyle{ B\models\sigma[a]}\) to \(\displaystyle{ A\models\sigma[a]}\) dla każdej uniwersalnej formuły \(\displaystyle{ \sigma}\)

czy ktoś wie jak pokazać że podpunt b) zachodzi dla formuł atomowych ?
b

Dlaczego chcesz osobno rozważać formuły atomowe? Zapisz, co to znaczy, że \(\displaystyle{ \sigma}\) jest uniwersalna, a następnie zastanów się, jak dowodzi się, że \(\displaystyle{ A\models\sigma[a]}\).

Dowód tych faktów wymaga wyłącznie przeczytania definicji spełniania formuły egzystencjalnej/uniwersalnej.

JK

Formuła jest uniwersalna jeśli wszystkie kwantyfikatory w niej występujące są ogólne, a jeśli występują tylko szczegółowe to jest egzystencjalna.

a)\(\displaystyle{ \psi}\) jest formułą egzystencjalną to \(\displaystyle{ \neg \psi}\) jest równoważne formule uniwersalnej.
Jeśli więc nie byłoby prawdą że \(\displaystyle{ \psi}\) jest spełnione w \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ \neg \psi}\)
byłoby spełnione w A co jest niemożliwe na mocy podpunktu b).

b)tutaj wydawało mi się że nalezy rozważyć tylko formuły otwarte (czyli które nie zawierają kwantyfikatorów) bo jeśli formuła \(\displaystyle{ \sigma}\) jkest otwarta to \(\displaystyle{ B=\sigma[{}a] \Leftrightarrow B=\bigwedge\limits_ {v_{i_0},...,v_{i_n}}}\).
Pozostałe formuły powstają za pomocą spójników logicznych z formuł atomowych. Dlatego zapytałam jak to dla nich pokazać.

Cosinusoida89sonia pisze:Formuła jest uniwersalna jeśli wszystkie kwantyfikatory w niej występujące są ogólne, a jeśli występują tylko szczegółowe to jest egzystencjalna.

Nieprawda.

Liczy się tylko pierwszy kwantyfikator.

JK