Matematyka.pl

Może ktoś pomóc z dowodem?
Udowodnić że złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją

\(\displaystyle{ f:A \rightarrow B,g:B \rightarrow C}\)

\(\displaystyle{ g f:A \rightarrow C}\) (złożenie \(\displaystyle{ f,g}\) )

niech \(\displaystyle{ g(f(a_1)=g(f(a_2))}\)

Skoro \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, to jest iniekcją, więc \(\displaystyle{ f(a_1)=f(a_2)}\), skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to jest iniekcją, więc \(\displaystyle{ a_1=a_2}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ g(f(a_1))=g(f(a_2))}\) to \(\displaystyle{ a_1=a_2}\), co dowodzi, że złożenie \(\displaystyle{ f,g}\) jest iniekcją.

niech \(\displaystyle{ c \in C}\)

Skoro tak, to jako że \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, \(\displaystyle{ g}\) jest suriekcją, więc \(\displaystyle{ c=g(b)}\) dla \(\displaystyle{ b \in B}\). Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, a więc \(\displaystyle{ b=f(a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in A}\) skąd \(\displaystyle{ c=g(f(a))}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ g f}\) jest suriekcją.