Matematyka.pl

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) jest mierzalna w sensie Lebesgue'a. Dowieść, że \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0: \exists E\in\alpha_1 \ (m(E)<\varepsilon \wedge \ f|_{\mathbb{R}\setminus E} \ \text{jest ciągła})}\).

Jest to twierdzenie Łuzina. Znajdziesz je na stronie 109 .

Czy w tym twierdzeniu powinno być założenie, że miara zbioru \(\displaystyle{ E}\) jest skończona? Chodzi mi o twierdzenie w wersji dla funkcji \(\displaystyle{ f:E\rightarrow\overline{\RR}}\), gdzie \(\displaystyle{ E\subset\RR^n}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.

Na przykładowo w wersji dla przestrzeni normalnych takie założenie jest. W innych źródłach również takie założenie się pojawia. W rozwiązaniu tego autor korzysta z twierdzenia Łuzina i rozważa osobno przypadek zbioru \(\displaystyle{ A}\) o skończonej mierze.

Z drugiej strony w dowodzie z linka Spektralnego nie zlokalizowałem miejsca, w którym takie założenie byłoby użyte. Będę wdzięczny jeśli ktoś rozjaśni.

Rzeczywiście, by to była prawda należy dodatkowo założyć, że nośnik funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma skończoną miarę.