Matematyka.pl

sześcian [przedstawiony na chyba zbędnym rysunku ] ABCDEFGH ma krawędź o długości a, Sześcian ten przecina płaszczyzna p, która przechodzi przez środek krawędzi AB i BC oraz przez wierzchołek H.
Oblicz pole otrzymanego przekroju.

początkowo obliczyłem pole przekroju w kształcie trójkąta, jednak ma on kształt pięciokąta i tu zaczynają sie schody...

No ja to sobie tez narysowalem i ten przekroj jest w ksztalcie trojkata(chyba):) Jak masz odpowiedz do zad to podaj mi wyszlo pole \(\displaystyle{ \frac{a^{2}\sqrt{17}}{8}}\)

wyszła ci taka sama odpowiedz jak mi, czyli błędna
mam tylko podpowiedz że ten przekrój NIE jest trójkątem tylko pięciokątem

Hmpf... Wedlug mnie ten szescian bedzie wygladac tak:
... 22udv6.jpg

Jednak nie wiem jak obliczyc tego pole :/ POZDRO

z podpowiedzi którą mam (a która nie znajduje się w treści zadania ofcourse) wynika że dwa wierzchołki tego pięciokątnego przekroju p znajdują się na krawędziach AE oraz CG tak że powstaje nam trójkąt równoboczny i trapez równoramienny

mi się wydaje że tak ;p :


i chyba ten przekrój będzie tez przechodził przez środki krawędzi AE i CG

Próbowałam obliczyć to pole i wyszło mi takie coś:
\(\displaystyle{ P=\frac{7a^2\sqrt{3}}{8}}\)

baksio: na pewno nie przez środki AE i CG, z tego co udało mi się ustalić to jest podział w stosunku 1 do 2, lub coś kolo tego, na pewno nie jest to równo połowa AE i CG
jednak rysunek który zrobiłeś jest poprawny, gdyby ktoś się jeszcze tym "bawił" to proszę patrzeć na dzieło baksia
justka: możesz pokazać obliczenia?

odpowiedz to chyba \(\displaystyle{ P=\frac{a^2\sqrt{17}}{4}}\) ale głowy nie dam, poza tym obliczyłem biorąc dane z podpowiedzi

Trapez:
b- dłuzsza podstawa
c- krótsza podstawa
h- wysokość
\(\displaystyle{ c=\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}a)^2}\\
c=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ b=a\sqrt{2}\\
h=\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2}\\
h=\frac{a\sqrt{6}}{4}}\)
I pole trapezu jest równe
\(\displaystyle{ P_1=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2})\cdot\frac{a\sqrt{6}}{4}\\
P_1=\frac{3a^2\sqrt{12}}{16}\\
P_1=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}}\)

Pole trójkąta:
b- bok tójkata
\(\displaystyle{ P_2=\frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}\\
P_2=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}\)
Przekrój:
\(\displaystyle{ Pc=P_1+P_2\\
Pc=\frac{7a^2\sqrt{3}}{8}}\)
Ale wzięłam że przekrój przechodzi przez środki AE i CG

ha! gdyby przechodził i/lub mógłbym to udowodnić to sam umiałbym to rozwiązać
tak czy siak dzięki za pomoc

NIe mogłam wytrzymać i znowu zaczęłam kombinować lecz nie wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{17}}{4}}\) a \(\displaystyle{ \frac{7a^2\sqrt{17}}{24}}\).
NIewiem moze robie cos zle
A więc: Policzyłam że przekrój przechodzi przez AE i CG w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}a}\)
Trapez:
h- wysokość
c- dłuższa podstawa
d- krótsza podstawa
\(\displaystyle{ c=a\sqrt{2}\\
d=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\)
A wysokośc:
\(\displaystyle{ h=\sqrt{(\frac{1}{3}a)^2+(\frac{a\sqrt{2}}{4}}\\
h=\frac{a\sqrt{17}}{6\sqrt{2}}\\
P_1=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2})\cdot\frac{a\sqrt{17}}{6\sqrt{2}}\\
P_1=\frac{a^2\sqrt{17}}{8}}\)

Trojkat:(nie jest równoboczny)
z- podstawa
H- wysokośc
\(\displaystyle{ z=a\sqrt{2}\\
H=\sqrt{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2-(\frac{a\sqrt{13}}{3})^2}\\
H=\frac{a\sqrt{34}}{6}}\)
Pole jest równe
\(\displaystyle{ P_2=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{34}}{6}\\
P_2=\frac{a^2\sqrt{17}}{6}}\)
Pole przekroju
\(\displaystyle{ Pc=P_1+P_2\\
Pc=\frac{7a^2\sqrt{17}}{24}}\)
Sorry jak źle ale nie mogłam zostawic tego tak bez odpowiedzi

Justka , ale dlaczego w 1/3 ?

[/url]

obliczyłam długośc odcinka od punktu D do krótszej podstawy trapezu czyli jest to \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) przekatnej podstawy sześcianu.
\(\displaystyle{ t=\frac{3}{4}a\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\\
x=\frac{1}{4}a\sqrt{2}}\)
I teraz Z twierdzenia talesa
y-?
\(\displaystyle{ \frac{a}{t}=\frac{y}{x}\\
y=\frac{1}{3}a}\)
No i dalej tak jak wyżej

jak na moje oko to w zadaniu brakuje jakiś danych ale treść przepisałem dokładnie