Matematyka.pl

Cześć
Udowodnijmy, że suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Autor podaje taki dowód:
Niech \(\displaystyle{ A, B}\) będą przeliczalne. Funkcja\(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją w z naturalnych w \(\displaystyle{ A, g}\) z naturalnych w \(\displaystyle{ B}\).
I ustala bijekcję z \(\displaystyle{ h}\):
\(\displaystyle{ h(2n) = g(n)\\
h(2n+1) = f(n).}\)
Wszystko OK, tylko nie rozumiem, skąd pewność o iniekcji? \(\displaystyle{ f,g}\) wiadomo, że są iniekcjami.
Niech
\(\displaystyle{ f(0) =3;\\
g(0) =3;}\)
Zatem:
Dla \(\displaystyle{ n =0;}\)
\(\displaystyle{ h( 0) = g(0) = 3\\
h( 1) = f(0) = 3}\)
I nie ma iniektywności.

Tam brakuje przecinka, powinno być:
\(\displaystyle{ h(2n)=g(n),}\) \(\displaystyle{ h(2n+1)=f(n)}\).

Nie sądzę, by ustalał bijekcję. Raczej ustala surjekcję, która daje mu jedno, trudniejsze oszacowanie.

JK

nie, definiuje funkcję h w taki sam sposób jak napisałem, a potem stwierdza, że jest iniektywna. Zatem jest czy nie jest?
Ponadto mam inne pytanie:
Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, żę \(\displaystyle{ n \le m \wedge m\le n \Rightarrow n =m}\)
Wg mojej wiedzy liczba kardynalna jest równa mocy zbioru. Zatem rozumiem, że to twierdzenie nabiera znaczenia i barw jeśli chodzi o zbiory nieskończone, bo przy skończonych jest oczywiste, prawda?

tukanik pisze:nie, definiuje funkcję h w taki sam sposób jak napisałem, a potem stwierdza, że jest iniektywna. Zatem jest czy nie jest?

Nie musi być. Dowód jest niepoprawny.

tukanik pisze:Ponadto mam inne pytanie:
Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, że \(\displaystyle{ n \le m \wedge m\le n \Rightarrow n =m}\)

Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, że jeśli \(\displaystyle{ |A|\le|B|}\) i \(\displaystyle{ |B|\le|A|}\), to \(\displaystyle{ |A|=|B|.}\)

tukanik pisze:Wg mojej wiedzy liczba kardynalna jest równa mocy zbioru.

Nie wiem, czym dla Ciebie jest liczba kardynalna.

JK

Ok, kolejna wątpliwość:
Mamy moce zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C}\) odpowiednio równe \(\displaystyle{ n,m,p}\). Wiemy też,
\(\displaystyle{ n \le m \wedge m \le p}\). Wynika stąd, że zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ B_1}\) zbioru B, a zbiór B równoliczny z pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ C_1}\) zbioru C.
\(\displaystyle{ f: A \rightarrow B , \ g: B \rightarrow C}\)
Teraz autorka zawęża dziedzinę funkcji g do \(\displaystyle{ B_1}\) i twierdzi, że taka funkcja różnowartościowa przekształca \(\displaystyle{ B_1}\) w \(\displaystyle{ C_1}\)
Jest dla mnie nie do pojęcia jak jednocześnie zbiór mniejszy może być przekształcony na ten sam zbiór co jego nadzbiór, bo przecież ta funkcja zawężona ma też być suriekcją.

-- 16 sty 2014, o 22:26 --

Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, że jeśli \(\displaystyle{ |A|\le|B| i |B|\le|A|}\), to \(\displaystyle{ |A|=|B|}\).

masz rację, nie sprecyzowałem, ale to nie zmienia faktu, że nadal chcę odpowiedź na to pytanie

Nie wiem, czym dla Ciebie jest liczba kardynalna.

Widzę, że chyba tym, czym dla Ciebie, czyli mocą zbioru.

tukanik pisze:Ok, kolejna wątpliwość:
Mamy moce zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C}\) odpowiednio równe \(\displaystyle{ n,m,p}\). Wiemy też,
\(\displaystyle{ n \le m \wedge m \le p}\). Wynika stąd, że zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ B_1}\) zbioru B, a zbiór B równoliczny z pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ C_1}\) zbioru C.
\(\displaystyle{ f: A \rightarrow B , \ g: B \rightarrow C}\)
Teraz autorka zawęża dziedzinę funkcji g do \(\displaystyle{ B_1}\) i twierdzi, że taka funkcja różnowartościowa przekształca \(\displaystyle{ B_1}\) w \(\displaystyle{ C_1}\)
Jest dla mnie nie do pojęcia jak jednocześnie zbiór mniejszy może być przekształcony na ten sam zbiór co jego nadzbiór, bo przecież ta funkcja zawężona ma też być suriekcją.

A dlaczego? Autorka nigdzie nie twierdzi, że ta funkcja przekształca \(\displaystyle{ B_1}\) na \(\displaystyle{ C_1}\). Jak sam napisałeś: "przekształca \(\displaystyle{ B_1}\) w \(\displaystyle{ C_1}\)".

tukanik pisze:masz rację, nie sprecyzowałem, ale to nie zmienia faktu, że nadal chcę odpowiedź na to pytanie

Tak, jest ciekawe dla zbiorów nieskończonych.

tukanik pisze:

Nie wiem, czym dla Ciebie jest liczba kardynalna.

Widzę, że chyba tym, czym dla Ciebie, czyli mocą zbioru.

A co to jest moc zbioru?

Ja na wykładzie ze "Wstępu do matematyki" nie używam ani liczb kardynalnych, ani mocy zbiorów (jako bytów).

JK

ok, jak nie wiesz co to jest moc zbioru, to powiedz mi co napisałeś tutaj:

Twierdzenie Cantora-Bernsteina mówi, że jeśli \(\displaystyle{ |A|\le|B|}\) i \(\displaystyle{ |B|\le|A|}\), to \(\displaystyle{ |A|=|B|.}\)

Zauważ, że tutaj moc zbioru występuje wyłącznie jako skrót (a nie jako byt). Napisałem:

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest równoliczny z podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\) i zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest równoliczny z podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ A}\), to zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równoliczne.

Używam wyłącznie pojęcia równoliczności.

JK

właściwie to nie powinienem pytać, ale ten zbiór potrafi wyprawiać cuda, ile wynosi moc zbioru pustego?

Zero.

JK