Matematyka.pl

W kwadracie obrano \(\displaystyle{ 2n^{2} +1}\) punktów . Wykaż, że jeżeli nie ma 3 punktów leżących na tej samej prostej to trójkąt utworzony z połączenia tych punktów będzie miał pole nie większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^{2}}}\)

Z góry dziękuję

Podziel dany kwadrat na \(\displaystyle{ n^2}\) mniejszych kwadracików. Z zasady szufladkowej wynika, że w co najmniej jednym z nich znajdują się trzy punkty. Każdy trójkąt znajdujący się w kwadracie ma pole niewiększe niż połowa pola kwadratu. Zatem istnieje taki trójkąt, którego \(\displaystyle{ P\leq \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{2n^2}}\), c.k.d.