Matematyka.pl

Mam problem z wyznaczeniem mocy zbioru:
\(\displaystyle{ F = \{ X\in P(\mathbb{N}):\quad |X|=\aleph\}}\)
czy to jest ilość zbiorów należących do zbioru potęgowego liczb naturalnych takich że ich moc jest równa \(\displaystyle{ \aleph}\) ?

A co to jest \(\displaystyle{ \aleph}\)? Czy chodzi Ci o \(\displaystyle{ \aleph_0}\)?

JK

Tak \(\displaystyle{ \aleph_0}\), ten zbiór potęgowy będzie mocy \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}}\) ? Nie wiem jak określić ile będzie w nim zbiorów mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\) .

Odświeżam temat, bo sam zastanawiam nad tym zadaniem, doszedłem do wniosku, że moc zbioru F to co najmniej \(\displaystyle{ \aleph_0}\), bo zbiór liczb pierwszych jest mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\), podobnie zbiory wielokrotności liczb 2,3,5,7,11, itd., więc w zbiorze \(\displaystyle{ P(\mathbb{N})}\) musi istnieć co najmniej \(\displaystyle{ \aleph_0}\) zbiorów o mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Pytanie - czy jest ich więcej?

Johny94 pisze:Pytanie - czy jest ich więcej?

Tak.

Najlepiej zacząć od policzenia tych zbiorów, które nie są mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

JK

Nie jestem wskazać dokładnie tych zbiorów mocy większej od \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Może jakaś podpowiedź? Ale czy z faktu, że zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest nieprzeliczalny, mogę wyciągnąć wniosek, że na pewno znajdę wśród nich nieprzeliczalną ilość zbiorów o mocy mniejszej niż continuum.

Johny94 pisze:Nie jestem wskazać dokładnie tych zbiorów mocy większej od \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

Nie chodziło o zbiory mocy większej niż \(\displaystyle{ \aleph_0}\) (takich przecież nie ma), tylko mniejszej.

JK

Moc zbioru wszystkich podzbiorów liczb naturalnych jest równa continuum i jeżeli znajdę u siebie \(\displaystyle{ \aleph_0}\) zbiorów skończonych, ale tych o mocy mniejszej niż \(\displaystyle{ \aleph_0}\) czyli ta moc to jakaś liczba naturalna, to będzie znaczyło, że w tym zadaniu zbiorów które szukam będzie \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}-\aleph_0=2^{\aleph_0}}\)? Tylko jak znaleźć te zbiory, czy stwierdzenie, że będą one przeliczalne i będzie ich również przeliczalnie wiele, a skoro suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna, to na pewno nie będzie ich więcej niż \(\displaystyle{ \aleph_0}\) jest do zaakceptowania?

Johny94 pisze:i jeżeli znajdę u siebie \(\displaystyle{ \aleph_0}\) zbiorów skończonych, ale tych o mocy mniejszej niż \(\displaystyle{ \aleph_0}\)

Nie ma innych zbiorów skończonych - zbiory skończone to te, które mają moc mniejszą niż \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

Johny94 pisze:to będzie znaczyło, że w tym zadaniu zbiorów które szukam będzie \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}-\aleph_0=2^{\aleph_0}}\)?

Tak, bo zbiór, którego moc masz wyznaczyć, to zbiór nieskończonych podzbiorów \(\displaystyle{ \NN}\). Natomiast to, że jeżeli ze zbioru mocy continuum wyrzucisz zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\), to zbiór, który zostanie będzie miał moc continuum, wymaga osobnego uzasadnienia.

Johny94 pisze: Tylko jak znaleźć te zbiory, czy stwierdzenie, że będą one przeliczalne

Co rozumiesz przez "przeliczalne"? One mają być skończone. Chyba, że masz co innego na myśli pisząc "te zbiory".

Johny94 pisze:i będzie ich również przeliczalnie wiele,

Czego i dlaczego będzie przeliczalnie wiele?

JK