Wielomian nierozkładalny

[krystian8207]

Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(X,Y)=X^{4}+2Y^{2}X^{3}+3Y^{3}X^{2}+4YX+5Y+6Y^{2}}\) jest nierozkładalny w \(\displaystyle{ R[X,Y]}\).

Proszę o jakieś wskazówki do rozwiązania, pozdrawiam krystian8207.

[Zordon]

Potraktuj to jako wielomian zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) nad \(\displaystyle{ R[X]}\). Ma on stopień \(\displaystyle{ 3}\). Jeśli jest rozkładalny, to ma pierwiastek w \(\displaystyle{ R[X]}\). Ale wtedy ten pierwiastek jest dzielnikiem \(\displaystyle{ X^4}\).