Matematyka.pl

Sprawdź, czy relacja \(\displaystyle{ (x,y) \sim (s,t) \hbox{ wdy } \exists z>0\quad x=zs \wedge y=zt}\) jest relacją równoważności w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Jeśli tak, to wyznacz zbiór ilorazowy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 /_{\sim}}\).

Jakie masz postępy w zadaniu? Co zostało zrobione, z czym są problemy?

Nie mam pewności co do sprawdzenia równoważności. Przy sprawdzaniu zwrotności mam \(\displaystyle{ (x,y) \sim (x,y)}\), więc \(\displaystyle{ x=zx \wedge y=zy}\) i skoro to ma być dla każdego x,y spełnione, to wtedy dostaję, że tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\) relacja jest zwrotna? I w podobny sposób sprawdzam symetryczność i przechodniość.

Hausa pisze:Nie mam pewności co do sprawdzenia równoważności. Przy sprawdzaniu zwrotności mam \(\displaystyle{ (x,y) \sim (x,y)}\), więc \(\displaystyle{ x=zx \wedge y=zy}\) i skoro to ma być dla każdego x,y spełnione, to wtedy dostaję, że tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\) relacja jest zwrotna?

Stwierdzenie "tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\) relacja jest zwrotna" nie ma sensu. Definicja relacji mówi o istnieniu dodatniego \(\displaystyle{ z}\) i w tym wypadku pokazałaś, że takie \(\displaystyle{ z}\) istnieje, zatem \(\displaystyle{ (x,y)\sim(x,y)}\), czyli relacja jest zwrotna.

JK

Dziękuję!
Tylko nie wiem jak później ruszyć ten zbiór ilorazowy. Tzn nie wiem jak wskazać tę "wspólną cechę"

Pomyśl o tym geometrycznie jak o punktach na płaszczyźnie. Postaraj się wyznaczyć klasę abstrakcji konkretnego punktu, albo przynajmniej kilka punktów z nim równoważnych. Potem zmień punkt i powtórz to. Staraj się zobaczyć zależność. Staraj się od razu myśleć o podziale płaszczyzny. Próbuj.

JK

Staram się póki co widzę tylko to, że przez te punkty przechodzą proste, które przechodzą przez środek układu. Chyba ze cos mylę. Ale szukam dalej

Hausa pisze:Staram się póki co widzę tylko to, że przez te punkty przechodzą proste, które przechodzą przez środek układu.

Ciepło, ciepło. Ale czy to są na pewno całe proste?

JK

Fakt, czyli dla każdego punktu jest półprosta o początku w zerze ale bez zera. Albo punkt zero.

No i tak właśnie wyglądają klasy abstrakcji.

JK

Czyli zbiorem ilorazowym będzie zbiór wszystkich półprostych razem z punktem 0, czyli jest to po prostu \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ?

Hausa pisze:Czyli zbiorem ilorazowym będzie zbiór wszystkich półprostych razem z punktem 0,

Tak (o ile masz na myśli, że \(\displaystyle{ \{(0,0)\}}\) jest osobnym elementem zbioru ilorazowego).

JK

Bardzo dziękuję za wytłumaczenie i poświęcony czas

Ja zadam dodatkowe (nieobowiązkowe) pytanie - czy potrafisz jeszcze prościej opisać zbiór ilorazowy? Powiedzmy, że specyficzny dobór reprezentantów klas równoważności może dać nam ładny opis zbioru \(\displaystyle{ \RR^2/\sim}\)

No to przychodzi mi na myśl tylko to, że można coś kombinować z samymi znakami współrzędnych. Ale nie wiem czy akurat o to Ci chodzi