Matematyka.pl

Witam, przygotowuje się do pomorskiego konkursu matematycznego, więc robię zadania z poprzednich lat. Nie udało mi się zrobić 3 zadań. Byłbym wdzięczny, gdybyście dali mi wskazówkę, ewentualnie podali rozwiązanie.
1.Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x, y}\), są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi dodatnimi, to kwadrat liczby \(\displaystyle{ x*y + 1}\)
można przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb naturalnych.

2.Wyznacz wzór funkcji liniowej f tak, aby dla każdego \(\displaystyle{ x \in}\) R były spełnione warunki
\(\displaystyle{ f(3x) = 3f(x) - 2}\) i \(\displaystyle{ f(x+3) = f(x) + 9}\).

3.Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki
te podzieliły przekątną na trzy równe części. Znajdź stosunek boków tego prostokąta

1. Masz wyrażenie

\(\displaystyle{ (xy+1) ^{2}=(n(n+1)+1)^2=(n(n+1)) ^{2}+2n ^{2}+2n+1=(n(n+1)) ^{2}+n ^{2}+n ^{2} +2n+1= (n(n+1)) ^{2}+n ^{2}+(n+1) ^{2}}\)

W drugim, szukasz wzoru funkcji liniowej, czyli masz wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) we wzorze \(\displaystyle{ f(x) = ax + b}\). Rozpisz sobie \(\displaystyle{ f(3x)}\), \(\displaystyle{ f(x+3)}\), podstaw do wymaganych warunków... i wyjdzie.

Trzecie da się rozwiązać z podobieństwa trójkątów

2.
\(\displaystyle{ f(x)=ax+b\\ f(3x)=3ax+b}\)
Samodzielnie rozpisz funkcję \(\displaystyle{ f(x+3)}\)

Potem postaw dwa warunki i dostaniesz układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi.

Zad 3
Niech wierzchołkami prostokąta będą punkty A,B,C,D; lACl przekątną która została podzielona na trzy cześci czyli lCEl=lEFl=lFAl=x. Gdy rozpiszesz sobię kąty zauważysz, że trójkąty CEB i EBA są do siebie podobne. Ztego podobieństwa możemy wyliczyć, że lEBl =x\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) . Następnie z tw. Pitagorasa wyliczamy lCBl=x\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) lABl=x\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Wyliczamy stosunek.
Mam nadzieję, że pomogłam:)