Matematyka.pl

Czy zbiór \(\displaystyle{ \{1\}}\) jest otwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ [0,1]}\) z topologią indukowaną z topologii strzałka na \(\displaystyle{ \RR}\)?

Nie wiem jak to zrobić. Znam definicję topologii strzałka. Nie rozumiem, dlaczego punkt miałby być otwarty w tej topologii (dlaczego miałby mieć niepuste wnętrze).

Zauważ, że w topologii strzałki zbiór \(\displaystyle{ [1,2)}\) jest otwarty (dlaczego?). Przejdź z tym zbiorem do topologii indukowanej. Co otrzymujesz?

Nie wiem, dlaczego on jest otwarty. Dla każdego punktu tego zbioru, skoro jest otwarty, powinna istnieć kula otwarta o środku w tym punkcie, zawarta w zbiorze. W jedynce, dlaczego istnieje taka kula?

Strzałka nie jest przestrzenią metryzowalną i o kulach mówić nie można. Są też przestrzenie metryczne, gdzie istnieją kule jednopunktowe. Najdobitniejszym przykładem jest przestrzeń metryczna dyskretna.

Powiedz mi, jaki zbiór uważamy za otwarty w topologii podprzestrzeni indukowanej z "całej" przestrzeni? Jeśli to sobie uświadomisz, wróć do mojej wskazówki. Rozwiązanie masz już na talerzu. Teraz sięgnij po widelec.

Otwarty w topologii indukowanej jest ten, który jest otwarty w topologii "całej" przestrzeni, tak?
Czyli [1,2) jest otwarty, bo (1,2) jest otwarty na R i potem sobie je przecinamy. Czyli strzałka jest indukowana z "całej" przestrzeni (czyli całej prostej R, tak?)? Bo tego też nie wiedziałam.

Argumenty zupełnie chybione. Niestety - nie za bardzo rozumiesz topologię indukowaną na podprzestrzeń. Ponadto mylisz topologię naturalną ze strzałką.

Spójrz do podręcznika lub notatek z wykładu i przeczytaj definicję topologii podprzestrzeni (czyli topologii indukowanej). Następnie zapisz ją tutaj dla skontrolowania czy znalazłaś właściwe pojęcie. A potem tę definicję zastosujemy. Przypomnij też, czym jest topologia strzałki (Sorgenfreya).

Ta metoda jest bardziej pouczająca od robienia przeze mnie wykładu z podstaw topologii. Bo tak naprawdę ta wiedza tylko koło topologii stała. To są absolutne podstawy. Dla studenta matematyki to tak jak \(\displaystyle{ 2\cdot 2=4}\) dla "zwykłego śmiertelnika".

Niech \(\displaystyle{ (X,T _{x})}\) będzie przestrzenią topologiczną i niech \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\). Wtedy rodzina zbiorów \(\displaystyle{ T_{y}=\{Y \cap U, U \in T_{x}\}}\) jest topologią w Y zwaną topologią podprzestrzeni.

Topologia strzałki - zbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\{[a,b): a,b \in \mathbb{R}, a<b\}}\)

Tak. Teraz wróć do mojej wskazówki: topologia-f58/topologia-strzalka-czy-zb ... l#p5188670 i ją zastosuj.

szw1710 pisze:Zauważ, że w topologii strzałki zbiór \(\displaystyle{ [1,2)}\) jest otwarty (dlaczego?). Przejdź z tym zbiorem do topologii indukowanej. Co otrzymujesz?

No właśnie nie rozumiem, dlaczego ten zbiór jest otwarty.

szw1710 pisze:Powiedz mi, jaki zbiór uważamy za otwarty w topologii podprzestrzeni indukowanej z "całej" przestrzeni? Jeśli to sobie uświadomisz, wróć do mojej wskazówki. Rozwiązanie masz już na talerzu. Teraz sięgnij po widelec.

Chodzi i to, że otoczenie dowolnego punktu w tym zbiorze należy do zbioru? Czy o to, że baza topologii podprzestrzeni składa się ze zbiorów otwartych, dlatego \(\displaystyle{ [1,2)}\) jest otwarty?

Przecież \(\displaystyle{ [1,2)}\) jest zbiorem bazowym!!! Dlatego jest otwarty. Na tej podstawie wykaż otwartość singletonu \(\displaystyle{ \{1\}}\).

Ciągle mam wrażenie, że topologia strzałki myli Ci się z topologią naturalną. Od wieków tłoczono nam w głowę, że przedział \(\displaystyle{ [1,2)}\) nie jest otwarty, ale lewostronnie domknięty. Oczywiście nie jest domknięty. Ale to wszystko w topologii naturalnej!!!. Strzałka nie ma nic wspólnego z topologią naturalną. Zbiory otwarte są tam zupełnie inne.

Topologię naturalną wyznacza metryka \(\displaystyle{ d(x,y)=|x-y|}\). Natomiast strzałka nie jest metryzowalna. Oznacza to, że nie istnieje żadna metryka, która y wyznaczyła topologię strzałki. Nie można tam mówić o żadnej kuli. Strzałka jest świetnym przykładem na zachodzenie różnych zjawisk. Np. w topologii naturalnej singletony (zbiory jednopunktowe) nie są otwarte. A strzałce indukowanej na przedział - tak. Ponadto topologia naturalna jest spójna. Strzałka nie - istnieją nietrywialne zbiory domknięto-otwarte. Itd. itp. Dlatego uczysz się o tej topologii.

No tak, zorientowałam się pod koniec pisania poprzedniego postu, dlaczego jest otwarty

\(\displaystyle{ [1,2) \cap [0,1]=\{1\}}\), więc \(\displaystyle{ \{1\}}\) jest otwarty, bo jest zbiorem bazowym podprzestrzeni \(\displaystyle{ [0,1]}\), tak?

Tak.