Nierówność
: 30 kwie 2007, o 15:04
Wykaż że jeżeli x>1 to \(\displaystyle{ x^{2006}-1>2006(x-1)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2006} - 2006x + 2005 \\
f'(x) = 2006 x^{2005} - 2006}\)
Widać zatem, że dla x > 1 funkcja f jest rosnąca oraz f(1) = 0, stąd prosty wniosek, że dla x > 1 mamy:
\(\displaystyle{ x^{2006} - 2006x + 2005 > 0\\
x^{2006} - 1 > 2006(x-1)}\)
[ Dodano: 30 Kwiecień 2007, 15:32 ]
Lub bez pochodnych:
Doprowadzamy nierówność do postaci:
\(\displaystyle{ x(x^{2005} - 2006) + 2005 > 0}\)
Ponieważ x > 1, to \(\displaystyle{ x^{2005} > 1 \Rightarrow x^{2005} - 2006 > - 2005}\) a tym bardziej jest: \(\displaystyle{ x(x^{2005} - 2006) > -2005}\) c.k.d.