Udowodnić nierówność

[inspiron01]

Witam, mam takie zadanka
Udowodnić, że
1) \(\displaystyle{ n!<\left( \frac{n+1}{2}\right) ^{2}}\)
2) \(\displaystyle{ n^{ \frac{n}{2} }< n!}\)
dla \(\displaystyle{ n>2}\)
Rozw. 1) Mam pytanie czy jest dobrze zrobione

\(\displaystyle{ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot \left( n-2\right)\left( n-1\right)n}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ab}< \frac{a+b}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1n}< \frac{n+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2\left( n-1\right)}< \frac{n+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3\left( n-2\right)}< \frac{n+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1n< \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\left( n-1\right)< \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2(n-2)< \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ n!<\left[\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2} \right] ^{ \frac{n}{2} }}\)
\(\displaystyle{ n! = O \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}\)

Natomiast nie mam pomysłu jak udowodnić drugi podpunkt:
2) \(\displaystyle{ n^{ \frac{n}{2} }< n!}\)

[Ponewor]

Musisz sparować czynniki \(\displaystyle{ n!}\) (bardzo pobieżnie spojrzałem).

[inspiron01]

Musisz sparować czynniki \(\displaystyle{ n!}\) (bardzo pobieżnie spojrzałem).

Niestety nadal mi to nic nie mówi. Może dałby ktoś rade to rozwiązać?

[Ponewor]

Jak rozpiszesz tą silnię, to wyjdzie \(\displaystyle{ n}\) czynników i bierzesz parami skrajne. Iloczyn każdej pary pary będzie większy od \(\displaystyle{ n}\).