Udowodnić nierówność

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
inspiron01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 11 sty 2014, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Udowodnić nierówność

Post autor: inspiron01 » 11 sty 2014, o 01:27

Witam, mam takie zadanka
Udowodnić, że
1) \(n!<\left( \frac{n+1}{2}\right) ^{2}\)
2) \(n^{ \frac{n}{2} }< n!\)
dla \(n>2\)
Rozw. 1) Mam pytanie czy jest dobrze zrobione

\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot \left( n-2\right)\left( n-1\right)n\)
\(\sqrt{ab}< \frac{a+b}{2}\)
\(\sqrt{1n}< \frac{n+1}{2}\)
\(\sqrt{2\left( n-1\right)}< \frac{n+1}{2}\)
\(\sqrt{3\left( n-2\right)}< \frac{n+1}{2}\)
\(1n< \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}\)
\(2\left( n-1\right)< \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}\)
\(2(n-2)< \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}\)
\(n!<\left[\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2} \right] ^{ \frac{n}{2} }\)
\(n! = O \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}\)

Natomiast nie mam pomysłu jak udowodnić drugi podpunkt:
2) \(n^{ \frac{n}{2} }< n!\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2014, o 01:41 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Udowodnić nierówność

Post autor: Ponewor » 11 sty 2014, o 01:44

Musisz sparować czynniki \(n!\) (bardzo pobieżnie spojrzałem).

inspiron01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 11 sty 2014, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Udowodnić nierówność

Post autor: inspiron01 » 12 sty 2014, o 22:49

Ponewor pisze:Musisz sparować czynniki \(n!\) (bardzo pobieżnie spojrzałem).
Niestety nadal mi to nic nie mówi. Może dałby ktoś rade to rozwiązać?

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Udowodnić nierówność

Post autor: Ponewor » 13 sty 2014, o 02:14

Jak rozpiszesz tą silnię, to wyjdzie \(n\) czynników i bierzesz parami skrajne. Iloczyn każdej pary pary będzie większy od \(n\).

ODPOWIEDZ