Matematyka.pl

Witam. Proszę o pomoc w poniższych przykładach.

1. Dany jest zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\). Czy wynika stąd, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}}\) jest:

a) zbieżny
b) bezwzględnie zbieżny?
Odpowiedź uzasadnić, podając dowód lub kontrprzykład.

2. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n>0}\) jest zbieżny. Czy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n a_n}\)? Odpowiedź uzasadnić, podając dowód lub kontrprzykład.

1. Kryterium Dirichleta daje zbieżność. Natomiast oczywiście nie zawsze jest to zbieżność bezwględna, np. \(\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}\)

2.
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{2n}=\frac{1}{2^n}}\)

Co do 1, to raczej kryterium Abela.

Tak, zadziała równie dobrze jak kryterium Dirichleta.

A czy da się rozwiązać zadanie 2 w taki sposób?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n = -ia_1 - a_2 + ia_3 + a_4 - ia_5 - a_6 + ia_7 + a_8 + \ldots = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}ia_{2n-1} = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + i\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1}}\)

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n}\) jest zbieżny, więc są zbieżne szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1}}\), a co za tym idzie zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^na_n}\)

Da się, ale ostatnie przejście jest błędne, więc całe rozwiązanie też. Możesz też to skonfrontować z moim kontrprzykładem.