Matematyka.pl

4.63. Na rysunku poniżej przedstawiony jest czworokąt ABCD. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą równoległą do prostej DB, która przecięła prostą AB w punkcie E. Wykaż, że pole czworokąta ABCD jest równe polu trójkąta AED.

niech \(\displaystyle{ k}\) będzie spodkiem wysokości na \(\displaystyle{ AE}\) wtedy \(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{AB \cdot DK}{2}}\) następnie wiemy, że \(\displaystyle{ DBEC}\) jest trapezem niech \(\displaystyle{ h}\) będzie jego wysokością wtedy \(\displaystyle{ P_{DCB}=\frac{DB \cdot h}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P_{CEB}=\frac{CE \cdot h}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{AB \cdot DK + DB \cdot h}{2}}\) teraz pole trójkąta \(\displaystyle{ AED}\) potraktujmy jako \(\displaystyle{ P_c-P_{CBE}=P_{AED}}\) gdzie \(\displaystyle{ P_c=P_{ABD}+P_{BDC}+P_{CBE}=\frac{AB \cdot DK+h(DB+CE)}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ P_{AED}=\frac{AB \cdot DK+DB \cdot h}{2}=P_{ABCD}}\) c.b.d.o

Nie trzeba było wykonywać nawet tak prostych obliczeń. Jeśli oznaczymy punkt przecięcia \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ DE}\) przez \(\displaystyle{ F}\), to teza równoważna jest równości \(\displaystyle{ \left[ CFD\right] = \left[ BFE\right]}\), znanej własności w trapezie w tym wypadku \(\displaystyle{ CEBD}\). Ale skoro \(\displaystyle{ \left[CDE \right] = \left[ CBE\right]}\), bo wspólna podstawa i wysokość, to po odjęciu stronami \(\displaystyle{ \left[ CEF\right]}\) mamy co trzeba.