Matematyka.pl

Witam. Prosiłbym o wsparcie w poniższym zadaniu.

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) o wyrazach zespolonych taki, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\) jest zbieżny. Niech \(\displaystyle{ \sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\) będzie bijekcją, o której wiadomo, że istnieje takie \(\displaystyle{ M \in \mathbb{N}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left| \sigma(n)-n\right| \le M}\). Wykazać, że wówczas szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{\sigma(n)}}\) jest zbieżny.

Pokaż, że \(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma(k)} \right)_{n=1}^{\infty}}\) spełnia warunek Cauchy'ego.

Czy takie rozwiązanie jest poprawne? (bazowałem na tym co mówi rafalpw)
Próbuję udowodnić zbieżność z warunku Cauchy'ego

\(\displaystyle{ \forall \varepsilon_1>0 \quad \exists k\in \mathbb{N} \quad \forall n > k \quad \left| a_{\sigma(k+1)} + a_{\sigma(k+2)} + \ldots + a_{\sigma(k+n)} \right| < \varepsilon_{1} = \varepsilon_{2} + |x|}\)

\(\displaystyle{ \left| a_{\sigma(k+1)} + a_{\sigma(k+2)} + \ldots + a_{\sigma(k+n)} \right| - |x| < \varepsilon_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| a_{\sigma(k+1)} + a_{\sigma(k+2)} + \ldots + a_{\sigma(k+n)} \right| - |-x| \le \left| a_{\sigma(k+1)} + a_{\sigma(k+2)} + \ldots + a_{\sigma(k+n)} + x \right| < \varepsilon_{2}}\)
Jeśli przyjmę, że \(\displaystyle{ x}\) to suma tych elementów szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\), które znajdują się pomiędzy elementami \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma(k)}}\) to
\(\displaystyle{ \left| a_{\sigma(k+1)} + a_{\sigma(k+2)} + \ldots + a_{\sigma(k+n)} + a_{i+1} + \ldots + a_{i+j} \right| = \left| a_{l+1} + a_{l+2} + \ldots + a_{l+m} \right| < \varepsilon_{2}}\)

A ze zbieżnośći szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\) wynika, że

\(\displaystyle{ \forall \varepsilon_2>0 \quad \exists l\in \mathbb{N} \quad \forall m > l \quad \left| a_{l+1} + a_{l+2} + \ldots + a_{l+m} \right| < \varepsilon_{2}}\)

Pozwolę sobie podbić - czy te rozwiązanie jest poprawne?

A czym są \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon_2}\)?