Matematyka.pl

Jak określić typ punktu osobliwego dla funkcji \(\displaystyle{ z^5\sin\frac{1}{z}}\)?
Zapisuję to inaczej \(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{1}{z}}{z^{-5}}}\), ale nie da się policzyć \(\displaystyle{ f(0)}\) dla \(\displaystyle{ f(z)=\sin\frac{1}{z}}\).

Granica funkcji w zerze jest zero, więc jest to osobliwość pozorna.

Granica w zerze nie wynosi zero i nie istnieje w ogóle. Na przykład

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+} (\mathrm i t)^5 \cdot \sin \frac{1}{\mathrm i t} = \lim_{t \to 0^+} \mathrm i \cdot t^5 \cdot \mathrm i \cdot \frac{ e^{-\frac{1}{t}} - e^{\frac{1}{t}} }{2} = \infty.}\)

Punkt \(\displaystyle{ 0}\) jest punktem istotnie osobliwym dla tej funkcji, bo

\(\displaystyle{ z^5 \sin \frac{1}{z}
= z^5 \cdot \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{z^3} + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{z^5} - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{z^7} + \frac{1}{9!} \cdot \frac{1}{z^9} - \ldots \right) \\ \\
= z^4 - \frac{1}{3!} \cdot z^2 + \frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{z^2} + \frac{1}{9!} \cdot \frac{1}{z^4} - \ldots,}\)

czyli część osobliwa tej funkcji składa się z nieskończenie wielu wyrazów.