Matematyka.pl

1. Narysuj wykres wskazowy dla układu równolegle połączonych \(\displaystyle{ L = 10mH}\) i \(\displaystyle{ C
= 50 \mu F}\), zasilanych z generatora napięcia sinusoidalnego o pulsacji \(\displaystyle{ \omega = 1000
\frac{rad}{s}}\) i amplitudzie \(\displaystyle{ 1V}\). Impedancja wewnętrzna generatora wynosi \(\displaystyle{ R_{w} = 1 \Omega}\).

2. Na zaciski układu \(\displaystyle{ RC}\) podano sygnał o złożonym (prostokątnym) przebiegu. Naszkicuj przebiegi napięć \(\displaystyle{ UR}\) i \(\displaystyle{ UC}\).
3. Szeregowy obwód rezonansowy zawiera: \(\displaystyle{ R = 1\Omega}\), \(\displaystyle{ L = 1mH}\), \(\displaystyle{ C = 1 \mu F}\). Oblicz dobroć układu i stosunki: \(\displaystyle{ \frac{U_{R}}{U_{w}}}\), \(\displaystyle{ \frac{U_{c}}{U_{w}}}\) i \(\displaystyle{ \frac{U_{L}}{U_{w}}}\) w rezonansie (\(\displaystyle{ U_{w}}\) - napięcie zasilające o częstotliwości rezonansowej).

4. Wylicz częstotliwości graniczne i określ pasma przenoszenia układów:
5. Zaprojektuj filtr pasmowy dla pasma \(\displaystyle{ 1 kHz-10kHz}\) wykorzystując prostą zasadę ułatwiającą obliczenia: \(\displaystyle{ \frac{Z_{wy}}{Z_{we}} \le \frac{1}{10}}\).

Gdzie jest problem?

Zacznijmy od zadania pierwszego. W liceum uczyłem się wzorów jak wszystko jest połączone szeregowo. W internecie udało mi się jedynie wyskrobać wzory jak wszystko jest równolegle. A tutaj mamy układ: kondensator i cewka równolegle, i do nich szeregowo dopięty rezystor. Nie wiem jak się za to zabrać (nie studiuję elektrotechniki).

Najpierw oblicz reaktancje elementów \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ C}\).
Czy znasz metodę symboliczną? Metoda symboliczna (metoda liczb zespolonych) jest bardzo prosta i ułatwia rozwiązywanie tego typu zadań.

Czyli tak
\(\displaystyle{ X_{R}= R \\
X_{C}=- \frac{1}{ \omega C} \\
X_{L}= \omega L \\
U=IZ_{RLC} \\
X_{RLC}=X_{R} + ( \frac{1}{X_{L}} + \frac{1}{X_{C}})^{-1}= X_{R} + \frac{X_{L}X_{C}}{X_{L}+X_{C}}}\)

Mam takie pytanie. W niektórych książkach wykresy wskazowe to takie trójkąty z napięć, w innych złożone z reaktancji.. jak ja mam to w końcu rysować? Jeśli wykres ma się składać z reaktancji to wystarczy policzyć ich wartości i pozamiatane.

Częściej jednak widziałem wykresy złozone z napięć, dlatego wolałbym właśnie taki narysować.


\(\displaystyle{ U=IX_{RLC} \\
I = U \cdot (X_{R}+ \frac{X_{L}+X_{C}}{X_{L}X_{C}})=U(R+ \frac{1}{\omega L}- \omega C)}\)

Żeby dobrać się do napięć to pewnie potrzebuję prądów w poszczególnych gałęziach

\(\displaystyle{ I=I_{1}+I_{2}}\) Gdzie te prądy to odpowiednio prąd w cewce i kondensatorze (jakoś nie mam przekonania pisząc to równanie, chociaż w sumie jest prąd zmienny to przez kondensator płynie prąd chyba).

Mam więc:

\(\displaystyle{ I_{1}+I_{2}= U(R+ \frac{1}{\omega L}- \omega C)}\)

Potrzebuję jeszcze jednego równania. pomyślałem o równości napięć (znaczy mam na myśli spadki napięć na cewce i kondensatorze).

\(\displaystyle{ U_{L}=U_{C}}\)

ostatecznie dwa równania z których wyliczam prądy(a raczej ich maksymalne wartości, sam nie wiem)

\(\displaystyle{ I_{1}+I_{2}= U(R+ \frac{1}{\omega L}- \omega C)}\)
\(\displaystyle{ I_{1} \omega L = I_{2} \frac{1}{ \omega C}}\)

Po dobraniu się do natężeń liczę napięcia:

\(\displaystyle{ U_{L}=I_{1} \omega L \\
U_{C}=I_{2} \frac{1}{ omega C}}\)

dobrze..?

-- 6 sty 2014, o 17:45 --

Zadanie 2
Wydaje mi się że tam gdzie napięcie na zaciskach jest zero to zarówno wykres kondensatora i cewki będzie się zerował w tym miejscu. Pozostaje przeanalizować niezerowe fragmenty wykresu.

Metoda symboliczna wprowadza prawo ohma o ile tylko posługujemy się reaktancją.

No to piszę takie równanie:

\(\displaystyle{ U_{0}=IX_{RC} \\
U_{0}=I(R- \frac{1}{ \omega C}) \\
I = \frac{U_{0}}{(R- \frac{1}{ \omega C})}}\)
Mając natężenie liczę potrzebne mi do wykresu napięcia:
\(\displaystyle{ U_{R}=IR \\
U_{C}=IX_{C}= \frac{I}{ \omega C}}\)
wszystkie omegi zastępuję \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{t}}\)
postępuję tak analogicznie na pozostałych fragmentach. może kto skomentować?

-- 6 sty 2014, o 18:15 --

Zad.3
Posiłkując się tym wpisem: CIACH!
(szczerze mówiąc to nie mam żadnego dobrego źródła informacji. Wszędzie jest napisane trochę inaczej. A prezentacje mojego wykładowcy .. ,
nie są zbyt czytelne, delikatnie mówiąc).

Wracając do tego zadania, posiłkując się informacjami z pierwszego linku:

\(\displaystyle{ Q= \frac{U_{L}}{U_{w}} \\
I= \frac{U_{w}}{R+ \omega - \frac{1}{ \omega C}} \\
U_{L}=IX_{L}= \frac{U_{w}}{X_{L}\omega L - \frac{1}{ \omega C}}}\)

warunek na rezonans w szeregowym obwodzie RLC (nie wiem czy dobry, może coś się pozmieniało):
\(\displaystyle{ \omega L = \frac{1}{ \omega C} \\
\omega = \frac{1}{ \sqrt {LC}} \\
f _{0}= \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \\
U_{L}= \frac{U_{w}L}{ \sqrt{LC}(R+ \frac{L}{\sqrt{LC}} - \frac{1}{C \sqrt{LC}})}= \frac{U_{w}L}{R \sqrt{LC} + L - \frac{1}{C}}}\)

Czyli ostatecznie dobroć układu:

\(\displaystyle{ Q= \frac{ \frac{U_{w}L}{R \sqrt{LC} + L - \frac{1}{C}}}{U_{w}} = \frac{L}{R \sqrt{LC} + L - \frac{1}{C}}}\)

może ktoś to skomentować?

Powiem krótko: niemal wszystko jest źle (zad 1 i zad 3 - przytoczone wzory są nieprawidłowe; zad 2 - tam trzeba analizować dwójnik szeregowy \(\displaystyle{ RC}\) w stanie nieustalonym a nie w stanie ustalonym - trzeba wziąć pod uwagę równanie różniczkowe opisujące ten dwójnik przy uwzględnieniu niezerowego warunku początkowego \(\displaystyle{ u_C(0)}\), trzeba to równanie rozwiązywać jakby przedziałami, na początku każdego z przedziałów trzeba uwzględnić inną wartość początkową napięcia elementu \(\displaystyle{ C}\)); dziś nie mam czasu na bardziej obszerny komentarz. Nie wiem jak Kolega chce opanować materiał bez znajomości metody symbolicznej. Radzę przeczytać sobie poniższą prezentację najpierw:-- 7 sty 2014, o 17:29 --

HaveYouMetTed pisze: \(\displaystyle{ X_{R}= R}\)

Element \(\displaystyle{ R}\) nie posiada reaktancji, dlatego Twój zapis nie jest poprawny. Owszem powiemy, że element \(\displaystyle{ R}\) posiada impedancję zespoloną \(\displaystyle{ \underline{Z}_{R}=R}\), że element \(\displaystyle{ L}\) posiada impedancję zespoloną \(\displaystyle{ \underline{Z}_{L}=j\omega L}\), że element \(\displaystyle{ C}\) posiada impedancję zespoloną \(\displaystyle{ \underline{Z}_{C}=-j \frac{1}{\omega C}}\).

Dzięki liczbom zespolonym można stosować te same "chwyty" co w obwodach prądu stałego, w których występują tylko elementy \(\displaystyle{ R}\).
Dlatego impedancja zespolona \(\displaystyle{ \underline{Z}_{LC}}\) równoległego połączenia elementów \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ C}\) wynosi:

\(\displaystyle{ \underline{Z}_{LC}=\frac{\underline{Z}_{L} \cdot \underline{Z}_{C} }{\underline{Z}_{L}+ \underline{Z}_{C}}=\frac{-jX_{C} \cdot jX_{L} }{jX_{L}-jX_{C}}=j\frac{X_{L}X_{C}}{X_{C}-X_{L}} \\ \text{gdzie:} \ X_{L}=\omega L, \ X_{C}=\frac{1}{\omega C}}\)

HaveYouMetTed pisze: \(\displaystyle{ X_{RLC}=X_{R} + ( \frac{1}{X_{L}} + \frac{1}{X_{C}})^{-1}= X_{R} + \frac{X_{L}X_{C}}{X_{L}+X_{C}}}\)

Niestety tak to nie działa. Poprawnie byłoby tak:\(\displaystyle{ \underline{Z}_{RLC}=R+\underline{Z}_{LC}=R+j\frac{X_{L}X_{C}}{X_{C}-X_{L}}}\)

A moduł impedancji zespolonej: \(\displaystyle{ Z_{RLC}=\sqrt{R^{2}+\left( \frac{X_{L}X_{C}}{X_{C}-X_{L}}\right)^{2} }}\)

HaveYouMetTed pisze:Mam takie pytanie. W niektórych książkach wykresy wskazowe to takie trójkąty z napięć, w innych złożone z reaktancji.. jak ja mam to w końcu rysować?

Trzeba to rysować czego żądają w treści zadania. Trójkąty reaktancji można rysować ale w prostych przypadkach. Geometrycznie sumują się prądy i napięcia.

HaveYouMetTed pisze:\(\displaystyle{ U=IX_{RLC} \\ I = U \cdot (X_{R}+ \frac{X_{L}+X_{C}}{X_{L}X_{C}})=U(R+ \frac{1}{\omega L}- \omega C)}\)

Tak to nie działa. Można zapisać: \(\displaystyle{ U=Z_{RLC} \cdot I=\sqrt{R^{2}+\left( \frac{X_{L}X_{C}}{X_{C}-X_{L}}\right)^{2} } \cdot I}\)
Albo na wartościach zespolonych: \(\displaystyle{ \underline{U}=\underline{Z}_{RLC} \cdot \underline{I}}\)

HaveYouMetTed pisze:Żeby dobrać się do napięć to pewnie potrzebuję prądów w poszczególnych gałęziach

Nie koniecznie. Jeśli już mamy prąd "wypadkowy" \(\displaystyle{ \underline{I}}\) (czyli prąd elementu \(\displaystyle{ R}\)) to mamy również napięcie \(\displaystyle{ \underline{U}_{R}}\) elementu \(\displaystyle{ R}\): \(\displaystyle{ \underline{U}_{R}=R \cdot \underline{I}}\).
Napięcie \(\displaystyle{ \underline{U}_{L}}\) na elemencie \(\displaystyle{ L}\) jest równe napięciu \(\displaystyle{ \underline{U}_{C}}\) na elemencie \(\displaystyle{ C}\): \(\displaystyle{ \underline{U}_{L}=\underline{U}_{C}=\underline{U}_{LC}}\)... po prostu mamy równoległe połączenie.
Teraz można napisać, że \(\displaystyle{ \underline{U}=\underline{U}_{R}+\underline{U}_{LC}}\)

HaveYouMetTed pisze:\(\displaystyle{ I=I_{1}+I_{2}}\) Gdzie te prądy to odpowiednio prąd w cewce i kondensatorze (jakoś nie mam przekonania pisząc to równanie, chociaż w sumie jest prąd zmienny to przez kondensator płynie prąd chyba).

Płynie, płynie. Prądy nie sumują się algebraicznie ale geometrycznie.
\(\displaystyle{ \underline{I}=\underline{I}_{L}+\underline{I}_{C}}\)
Trzymam się indeksów "L" i "C".

HaveYouMetTed pisze: \(\displaystyle{ I_{1}+I_{2}= U(R+ \frac{1}{\omega L}- \omega C)}\)

Kompletnie źle.
\(\displaystyle{ \underline{I}_{L}+\underline{I}_{C}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}_{RLC}}}\)

HaveYouMetTed pisze:Potrzebuję jeszcze jednego równania. pomyślałem o równości napięć (znaczy mam na myśli spadki napięć na cewce i kondensatorze).

\(\displaystyle{ U_{L}=U_{C}}\)

ostatecznie dwa równania z których wyliczam prądy(a raczej ich maksymalne wartości, sam nie wiem)

\(\displaystyle{ I_{1}+I_{2}= U(R+ \frac{1}{\omega L}- \omega C)}\)
\(\displaystyle{ I_{1} \omega L = I_{2} \frac{1}{ \omega C}}\)

Po pierwsze \(\displaystyle{ \underline{U}_{L}=\underline{U}_{C}}\). (Równanie \(\displaystyle{ U_{L}=U_{C}}\) też jest słuszne, ale równanie \(\displaystyle{ \underline{U}_{L}=\underline{U}_{C}}\) zawiera w sobie znacznie więcej informacji).
Czyli:
\(\displaystyle{ \underline{I}_{L}+\underline{I}_{C}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}_{RLC}}}\)
\(\displaystyle{ \underline{I}_{L} \cdot j \omega L=\underline{I}_{C} \cdot \left( -j \frac{1}{\omega C}\right)}\)
________________________________________________________________________________________________________________
Zad 2
W każdym podręczniku do teorii obwodów znajdziesz odpowiednie równania ... i w niejednym pliku pdf w sieci czy w prezentacji ppt. Zastosuj je. Kup sobie dobry podręcznik... nic i nikt go nie zastąpi.

________________________________________________________________________________________________________________
Zad 3 Jak wyżej.