Matematyka.pl

o co chodzi w tym zadaniu???

Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd t} \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} }\dd x}\) i zastosować otrzymany wynik do wyznaczenia \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} } \dd x}\)


jak sie takie zadania rozwiazuje

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\langle 0,1\rangle\times\RR\to\RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f(x,t)=\frac{\arctg(tx)}{x\sqrt{1-x^2}}}\). Jest to funkcja ciągła i posiada pochodną cząstkową \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{x}{1+t^2x^2}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{1}{1+t^2x^2}}\), która również jest funkcją ciągłą.

Stąd na mocy twierdzenia o różniczkowaniu całki względem parametru mamy Sądzę, że dalej sobie poradzisz.

z tego twierdzenia sobie to oblicze, ale jak potem to wykorzystac do obliczenia tego
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} } \dd x}\)

Wystarczy scałkować względem \(\displaystyle{ t}\) funkcję \(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd t}\int_0^1f(x,t)\dd x}\).