Matematyka.pl

Nalezy wyznaczyc wszystkie liczby naturalne, t ze sa one polami wielokatów ograniczonych łamanymi zamnknietymi bez samoprzecięć, których wszystkie boki maja długosc jednostkowa,a kazde dwa kolejne sa do siebie prostopadłe....

Obierzmy układ współrzędnych tak, żeby punkty kratowe pokrywały się z wierzchołkami wielokątów.

Będę używał określenia t-bok, jeśli wielokąt ma pole t. Na rysunktu 5-bok z pokazanymi sposobami "doklejenia" odpowiednio 3-boku, 4-boku i 7-boku (tutaj przypadkowo zrobiłem tak, że dwa "doklejenia" stykają się w wierzchołkach - ale widać, że przy "doklejeniach" powstają nowe wysunięte kwadraciki, gdzie można spokojnie doklejać dajej.


Zatem korzystając z właściwości: \(\displaystyle{ (a,b)=1 \Rightarrow \forall _{n \geqslant (a-1)(b-1)} \ \exists_{\alpha, \beta \in \mathbb{N}} \ n=\alpha a + \beta b}\) otrzymujemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \geqslant 5+2\cdot 3=11}\) pole "puzzli" może wynosić n (do 5-boku doklejamy pewną liczbę 3-boków i 4-boków).

Prosto sprawdzić ręcznie, że istnieją także: 1,5,8,9-boki spełniające warunki zadania. Wystarczy pokazać, że nie istnieją 2,3,4,6,7 i 10-boki spełniające warunki zadania - to już jest proste, acz mozolne ćwiczenie - można zrobić rozważając określoną ilość przypadków.