pole trójkąta
: 30 gru 2013, o 14:57
Dany jest trójkąt ABC w,którym AC=BC, \(\displaystyle{ \angle ACB=2 \alpha > \pi /2}\).Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy r.Wyznacz pole trójkąta ABC
Zrób rysunek.
Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza środek okręgu. Niech \(\displaystyle{ P, Q, R}\) oznaczają rzuty środka okręgu odpowiednio na boki: \(\displaystyle{ AC, \ BC, \ AB}\).
Zatem: \(\displaystyle{ |PO|=|QO|=|RO|=r}\).
\(\displaystyle{ \angle OCQ = \angle RCB = \angle OCP = \alpha}\), bo to trójkąt równoramienny.
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|AB|\cdot |CR|}\)
Patrząc na tójkąt \(\displaystyle{ CQO}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sin{\alpha} = \frac{|OQ|}{|OC|}=\frac{r}{|CO|}}\)
\(\displaystyle{ |CO|=r\cdot \sin{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ |CR|=r+r\sin{\alpha}}\)
Teraz patrząc na trójkąt \(\displaystyle{ CRB}\):
\(\displaystyle{ \tg{\alpha}=\frac{|RB|}{|CR|}=\frac{|RB|}{r+r\sin{\alpha}}}\)
\(\displaystyle{ |RB|=\tg{\alpha}\cdot (r+r\sin{\alpha})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=2|RB|}\) - bo trójkąt równoramienny
\(\displaystyle{ |AB|=2\tg{\alpha}\cdot (r+r\sin{\alpha})}\)
Wstawiamy do wzoru na pole:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 2\tg{\alpha}\cdot (r+r\sin{\alpha})(r+r\sin{\alpha})=\tg{\alpha}\cdot r^2(1+\sin{\alpha})^2}\)