Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ L^\infty=L^\infty(\mu)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą Lebesgue'a na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Pokazać, że istnieje funkcjonał liniowy i ciągły \(\displaystyle{ \Lambda \not = 0}\) na \(\displaystyle{ L^\infty}\) taki, że na \(\displaystyle{ C([0,1])}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\) i taki, że nie istnieje \(\displaystyle{ g\in L^1(\mu)}\) spełniające \(\displaystyle{ \Lambda f = \int_{[0,1]} fg \mbox{d}\mu}\) dla każdej \(\displaystyle{ f\in L^\infty}\)

Innymi słowy chodzi o pokazanie, że \(\displaystyle{ (L^\infty)^* \not = L^1}\). Byłbym wdzięczny za jakieś wskazówki jak skonstruować taki funkcjonał lub chociaż jak pokazać jego istnienie.

Pozdrawiam,
A.

Istnienie funkcjonału \(\displaystyle{ \Lambda}\) którego szuaksz wynika bezpośrednio z twierdzenia Hahna-Banacha (). By pokazać, że \(\displaystyle{ \Lambda\notin L_1}\) użyj faktu, że funkcje ciągłe są gęste w \(\displaystyle{ L_1}\).

Może zainteresuje Cię fakt, że istnieje pewna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ K}\) dla której

\(\displaystyle{ L_\infty \cong C(K)}\)

izometrycznie. W tym sensie możesz więc myśleć o funkcjonałach na \(\displaystyle{ L_\infty}\) jako o miarach na \(\displaystyle{ K}\).

Dziękuję za odpowiedź.

Rozumiem, że stosuję lemat dla \(\displaystyle{ X=L^\infty([0,1],\mu)}\) oraz \(\displaystyle{ Y=C([0,1])}\). Wtedy na funkcjach ciągłych na \(\displaystyle{ [0,1]}\) mój funkcjonał \(\displaystyle{ \Lambda}\) zeruje się, dla pozostałych funkcji przyjmuje wartość "odległości" tychże od \(\displaystyle{ C([0,1])}\), natomiast z gęstości \(\displaystyle{ C([0,1])}\) w \(\displaystyle{ L^1([0,1],\mu)}\) dostaję zerowanie się \(\displaystyle{ \Lambda}\) na funkcjach całkowalnych na \(\displaystyle{ [0,1]}\) względem \(\displaystyle{ \mu}\). Niestety nie widzę, czemu \(\displaystyle{ \Lambda \not \in L^1}\)

Czy to o czym mówisz o \(\displaystyle{ L^\infty}\), jest konsekwencją twierdzenia Gelfanda-Najmarka? Coś mi się obiło o uszy, ale możliwe, że bredzę. Co do tych miar, to słyszałem, że przestrzeń dualna do \(\displaystyle{ L^\infty}\) to jakaś przestrzeń miar. Czy dysponujesz jakąś literaturą na ten temat?

Dziękuję i pozdrawiam,
A.

Arst pisze:Rozumiem, że stosuję lemat dla \(\displaystyle{ X=L^\infty([0,1],\mu)}\) oraz \(\displaystyle{ Y=C([0,1])}\).

Tak, oraz \(\displaystyle{ x_0}\) równego, na przykład

\(\displaystyle{ x_0=\mathbf{1}_{[0,\tfrac{1}{2}]}.}\)

Załóżmy, że

\(\displaystyle{ \langle \Lambda, f \rangle = \int_0^1 fg\,\mbox{d}\mu\;\;(f\in L_\infty).}\).

Prawa strona powyższego wzoru określa funkcjonał na \(\displaystyle{ C[0,1]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \Lambda}\) znika na każdej funkcji ciągłej, z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów na \(\displaystyle{ C[0,1]}\) funkcja \(\displaystyle{ g}\) musi być równa 0 p.w. tj. być 0 w \(\displaystyle{ L_1}\) (możesz na to spojrzeć jako na ćwiczenie z teorii miary jeżeli nie lubisz takiego abstrakcyjnego nonsensu).

Arst pisze:Czy to o czym mówisz o \(\displaystyle{ L^\infty}\), jest konsekwencją twierdzenia Gelfanda-Najmarka?

W przypadku skalarów zespolonych tak. W przypadku skalarów rzeczywistych możesz użyć .

Swoją drogą, to że \(\displaystyle{ L_\infty^* \not\cong L_1}\) jest łatwe i wynika z tego, że \(\displaystyle{ L_1}\) jest ośrodkowe, ale \(\displaystyle{ L_\infty^*}\) nie jest, bo \(\displaystyle{ L_\infty}\) nie jest ośrodkowe.

Spektralny pisze: \(\displaystyle{ \langle \Lambda, f \rangle = \int_0^1 fg\,\mbox{d}\mu\;\;(f\in L_\infty).}\).

Prawa strona powyższego wzoru określa funkcjonał na \(\displaystyle{ C[0,1]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \Lambda}\) znika na każdej funkcji ciągłej, z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów na \(\displaystyle{ C[0,1]}\) funkcja \(\displaystyle{ g}\) musi być równa 0 p.w. tj. być 0 w \(\displaystyle{ L_1}\) (możesz na to spojrzeć jako na ćwiczenie z teorii miary jeżeli nie lubisz takiego abstrakcyjnego nonsensu).

Patrząc na to jednak jak na zastosowanie tw. Riesza, czy działamy tu względem miary \(\displaystyle{ \nu\ll\mu}\) takiej, że \(\displaystyle{ \mbox{d}\nu =g \mbox{d}\mu}\)? Wówczas czy z jednoznaczności regularnej miary \(\displaystyle{ \nu}\) wynika jednoznaczność funkcji \(\displaystyle{ g}\)? Wydaje mi się, że tak. Wtedy to już raczej kończyłoby dowód, bo dostajemy sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ \Lambda}\) miał być funkcjonałem niezerowym, a tymczasem wyszło, że się zeruje. Jeszcze jedna sprawa mnie nurtuje. Mianowicie nigdzie się nie korzysta z gęstości, o której wspominałeś. Coś mi ciągle umyka...

Przepraszam, jeśli zadaję głupie pytania, bardzo mi zależy na zrozumieniu tego w pełni.

Dziękuję i pozdrawiam,
A.

Arst pisze:Patrząc na to jednak jak na zastosowanie tw. Riesza, czy działamy tu względem miary \(\displaystyle{ \nu\ll\mu}\) takiej, że \(\displaystyle{ \mbox{d}\nu =g \mbox{d}\mu}\)? Wówczas czy z jednoznaczności regularnej miary \(\displaystyle{ \nu}\) wynika jednoznaczność funkcji \(\displaystyle{ g}\)?

Tak, z dokładnością do zbioru miary 0.

Arst pisze:Mianowicie nigdzie się nie korzysta z gęstości, o której wspominałeś. Coś mi ciągle umyka...

Tutaj rzeczywiście nie korzystaliśmy z gęstości. Można użyć argumentów gęstościowych by dostać istnienie funkcji ciągłej \(\displaystyle{ h}\), która jest dostatecznie blisko funkcji \(\displaystyle{ g}\) tak by \(\displaystyle{ \textstyle 0< \int g^2\, \mbox{d}\mu}\) było blisko \(\displaystyle{ \textstyle \int gh\, \mbox{d}\mu}\), co jednak musi być równe 0. Trzeba się pobawić z epsilonami tutaj, nie przeliczałem tego zastrzegam.

Dziękuję, ta dyskusja wiele mi rozjaśniła

Pozdrawiam,
A.