Matematyka.pl

Witam. Mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego ciąg funkcyjny
\(\displaystyle{ f(nt)= \begin{cases} 1 \quad dla \quad 0 \le t \le \frac{3\pi}{4n} \\ -2 \quad dla \quad \frac{3\pi}{4n}< t < \frac{2\pi}{n} \\ 0 \quad dla \quad \frac{2\pi}{n} \le t \le 2\pi\end{cases}}\)
jest słabo zbieżny do funkcji stale równej \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ L^p[0,2\pi]}\) dla \(\displaystyle{ 1<p<\infty}\)? Próbowałem to rozpisać, ale jakoś mi to nie wychodzi.

Przecież widać, że zbiór, na którym \(\displaystyle{ f_n\ne 0}\) coraz bardziej się zacieśnia wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\). Kwestia obłożenia dowolnym funcjonałem liniowym ciągłym, którego postać przecież znamy na tej przestrzeni.

No tak, widzę to akurat, ale jak próbuję sobie to rozpisywać z postaci ogólnej funkcjonału, to nie wychodzi mi na końcu granica równa zero, chyba robię gdzieś błąd, bo nigdy nie miałem do czynienia ze słabą zbieżnością w przestrzeniach funkcyjnych. Mógłbym prosić o to rozpisanie?

Nie mnie, albo nie teraz - zaraz wychodzę. W każdym razie zbieżność punktowa do zera jest ewidentna. Oczywiście punktowa to nie słaba w \(\displaystyle{ L^p}\). Spokojnie to sobie pocałkuj. Na razie więcej nie pomogę.

Niech \(\displaystyle{ x^*\in (L^p)^*}\). Wtedy \(\displaystyle{ x^*(f)=\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\dd t}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in L^q}\) jest wyznaczona jednoznacznie. Mamy więc \(\displaystyle{ x^*(f_n)=\int_0^{\frac{3\pi}{4n}}g(t)\dd t-2\int_{\frac{3\pi}{4n}}^{\frac{2\pi}{n}}g(t)\dd t}\). Umiesz przeszacować tę całkę?

Jeśli pójdziemy z \(\displaystyle{ n\to\infty}\), to dostaniemy dwie całki w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 0}\), czyli w sumie \(\displaystyle{ 0}\). Tak?

Nie tak. Zauważ, że funkcja całkowalna jest ograniczona i przeszacuj całkami ze stałych. Z przejściem do granicy z granicami całkowania też się można zastanowić. Jednak \(\displaystyle{ \mu([a,b])=\int_a^b g(x)\dd x}\) nie zawsze jest miarą, ale miarą znakowaną. Ale idea czytelna.

W pierwszej całce przejdzie numer z miarą zstępującego ciągu zbiorów zauważywszy wcześniej, że każda miara znakowana jest różnicą dwóch miar (rozkład Jordana). Ale w drugiej ciąg przedziałów nie jest zstępujący. Ma przekrój pusty.

Proponuję tak: z ograniczoności \(\displaystyle{ m\le g(x)\le M}\). Wtedy \(\displaystyle{ m(b_n-a_n)\le\int_{a_n}^{b_n}g(x)\dd x\le M(b_n-a_n)}\). I teraz przy\(\displaystyle{ b_n-a_n\to 0}\) mamy, że całka w środku zmierza do zera.

Dzięki szw1710, chociaż powiem szczerze, że nie bardzo wiem o czym tutaj mówisz, zwyczajnie się z tym nie spotkałem. Muszę poszukać innej drogi, albo darować sobie analizę tego przykładu i poszukać czegoś innego.
Dziękuję za pomoc.

Czego nie rozumiesz w ostatnim poście? O te szacowania mi chodzi. To proste. Spróbuj określić swój kłopot.

Brakuje mi zwyczajnie wiedzy, muszę doczytać kilka pojęć, nie jestem oblatany w teorii miary. Przeanalizuję to jeszcze na spokojnie, póki co analizuję sobie twierdzenie Kirka o punkcie stałym.

W twierdzeniu Riesza mamy, że ta funkcja \(\displaystyle{ g}\) reprezentująca funkcjonał jest całkowalna i w \(\displaystyle{ L^q}\). Z całkowalności wynika jej ograniczoność. A więc \(\displaystyle{ m\le g(x)\le M}\). To trywialne. Całkujemy w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\). Więc \(\displaystyle{ m(b-a)\le\int_a^b g(x)\dd x\le M(b-a)}\). Jeśli teraz \(\displaystyle{ b-a\to 0}\), stosujesz tw. o 3 ciągach i po sprawie - całka zmierza do zera. Teorii miary nie trzeba. To mówiłem powyżej. I moim zdaniem rozwiązuje sprawę.

No tak, to szacowanie faktycznie jest proste... Nie wiem czemu od razu tego nie zrozumiałem. Dzięki!

szw1710 pisze:W twierdzeniu Riesza mamy, że ta funkcja \(\displaystyle{ g}\) reprezentująca funkcjonał jest całkowalna i w \(\displaystyle{ L^q}\). Z całkowalności wynika jej ograniczoność.

Niestety to nie jest prawda. Nie ma takiego wynikania. Funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[4]{x}}}\) jest w \(\displaystyle{ L_2[0,2\pi]}\) i jest nieograniczona.

Spróbuj nierówności Holdera