Matematyka.pl

Mam problem z wyznaczeniem X, (nie dzielimy macierzy).
z równań
a) \(\displaystyle{ A(XB+A ^{T})=AB ^{T} \Rightarrow XB=B ^{T}-A ^{T}}\)
b)\(\displaystyle{ (BA-I _{3}B) ^{T}=A ^{T}X \Rightarrow (BA) ^{T}-(I _{3}B) ^{T}=A ^{T}X}\)
podpunktu c) w ogóle nie umiem \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right]X\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&-1\\0&2\end{array}\right]}\)

W podpunktach a i b chodzi mi o samo wyznaczenie X, celowo nie podałam macierzy A i B.

Ad a)
\(\displaystyle{ X=(B-A)^TB^{-1}}\)
Ad b)
\(\displaystyle{ X=\left[(BA-I_3B)A^{-1}\right]^T}\)
Ad c)
Mamy
\(\displaystyle{ AXB=C}\).
Zatem
\(\displaystyle{ X=A^{-1}CB^{-1}}\)

Dzięki Jak wyliczyć macierz \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) np.dla
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right]}\).

Najpierw prześledź operacje jakie zostały poczynione przy wyznaczaniu macierzy \(\displaystyle{ X}\). Skorzystaj z tego: oraz .
W ostatnim linku podane jest jak się odwraca macierz (czyli jak wyznaczyć \(\displaystyle{ A^{-1}}\)).

Dzięki, wiem już jak się przekształca otrzymując X Przeanalizowałam to co pisze w wiki o otrzymywaniu macierzy odwrotnej, ale nie za wiele z tego zrozumiałam. rtuszyns rozpisz proszę jak otrzymać macierz odwrotną \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right]}\).

Na początek obliczmy wyznacznik tej macierzy. Ile wynosi?
\(\displaystyle{ \det A=-1}\)

Skoro \(\displaystyle{ \det A \neq 0}\), to istnieje macierz odwrotna do macierzy \(\displaystyle{ A}\).
Można na dwa sposoby wyznaczyć macierz odwrotną:
1) korzystając z równania macierzowego \(\displaystyle{ AA^{-1}=I}\)
2) korzystając z macierzy dołączonej \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^D}\)

Za \(\displaystyle{ A ^{D}}\) postawiam moją macierz A?
Czy \(\displaystyle{ I _{3} \cdot B= \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]}\)?

-- 28 gru 2013, o 22:23 --

W jaki sposób liczymy prawidłowo, ponieważ wychodzi mi coś dziwnego. \(\displaystyle{ BB^{-1}=I \Rightarrow B ^{-1}=I \cdot B ^{-1} \Rightarrow 1=I}\)

-- 28 gru 2013, o 22:31 --

Czy jest różnica czy zapiszę

rtuszyns pisze: Zatem
\(\displaystyle{ X=A^{-1}CB^{-1}}\)

czy
\(\displaystyle{ X=CA ^{-1} B ^{-1}}\)?

pini pisze:Za \(\displaystyle{ A ^{D}}\) postawiam moją macierz A?

Nie, nie podstawiasz macierzy \(\displaystyle{ A}\). Poczytaj o macierzy dołączonej (Wikipedia).

pini pisze:Czy \(\displaystyle{ I _{3} \cdot B= \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]}\)?

\(\displaystyle{ I_3}\) to macierz jednostkowa \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Macierz \(\displaystyle{ B}\), to macierz w ogólności różna od \(\displaystyle{ I_3}\)

pini pisze:W jaki sposób liczymy prawidłowo, ponieważ wychodzi mi coś dziwnego. \(\displaystyle{ BB^{-1}=I \Rightarrow B ^{-1}=I \cdot B ^{-1} \Rightarrow 1=I}\)

Poczytaj dokładnie o własnościach macierzy odwrotnej.
Można to sobie wyobrazić na zasadzie "podobieństwa" do działań na liczbach. Mamy \(\displaystyle{ aa^{-1}=1}\), a w macierzach mamy \(\displaystyle{ AA^{-1}=I}\).
Ale troszkę w macierzach inaczej to funkcjonuje.

pini pisze:Czy jest różnica czy zapiszę

rtuszyns pisze: Zatem
\(\displaystyle{ X=A^{-1}CB^{-1}}\)

czy
\(\displaystyle{ X=CA ^{-1} B ^{-1}}\)?

Tak, jest to różne. Mnożenie macierzy nie jest przemienne (poczytaj).

Dzięki. W takim razie jak powinnam obliczyć to prawidłowo? Rozpisz proszę "krok po kroku"

rtuszyns pisze:

pini pisze:Czy jest różnica czy zapiszę

rtuszyns pisze: Zatem
\(\displaystyle{ X=A^{-1}CB^{-1}}\)

czy
\(\displaystyle{ X=CA ^{-1} B ^{-1}}\)?

Tak, jest to różne. Mnożenie macierzy nie jest przemienne (poczytaj).

Jak to liczysz, napisz proszę po kolei, bo mnie wychodzi w takiej kolejności.