parametr p i q

wojteczek03 · Post autor: **wojteczek03** » 28 gru 2013, o 11:17

dla jakich wartości parametru p i q liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^{3}+p x^{2}+qx+4=0}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2013, o 11:20

W bardziej zaawansowanym kursie można użyć pochodnej. Dwa warunki: \(\displaystyle{ w(2)=0}\) oraz \(\displaystyle{ w'(2)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ w(x)}\) oznacza lewą stronę równania.

wojteczek03 · Post autor: **wojteczek03** » 28 gru 2013, o 11:27

niestety pochodnych jeszcze nie przerabiałem

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2013, o 11:29

Dlatego piszę o zaawansowanym kursie. To twierdzenie jest mało znane, więc go popularyzuję - nie po raz pierwszy.

Niedługo dostaniesz inną wskazówkę.

Więc trywialnie masz \(\displaystyle{ w(2)=0}\) i stąd mamy pierwsze równanie na \(\displaystyle{ p,q}\). Drugie uzyskamy stąd, że można podzielić \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-2}\) i dwójka musi być pierwiastkiem ilorazu. To najprościej. Dzielenie też nie będzie zbyt skomplikowane.

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 11:32

Dzielenie wielomianu przez dwumian, 2 razy? otrzymasz układ 2 równań z 2 niewiadomymi.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2013, o 11:33

Ania221, wystarczy raz, albowiem masz informację \(\displaystyle{ w(2)=0}\). Zobacz to co dopisałem przed chwilą.

Skończę popularyzować. A więc mamy \(\displaystyle{ w(2)=0}\), czyli \(\displaystyle{ 8+4p+2q+4=0}\). Z kolei \(\displaystyle{ w'(x)=3x^2+2px+q}\) i z warunku \(\displaystyle{ w'(2)=0}\) wnosimy, że \(\displaystyle{ 12+4p+q=0}\). Z tych dwóch równań obliczamy \(\displaystyle{ p=-3\,,q=0}\), a więc mamy \(\displaystyle{ w(x)=x^3-3x+4=(x-2)^2(x+1)}\), czyli warunki zadania są spełnione.

Nie chodzi mi o to, aby teraz każdy uczył się pochodnych. Raczej o pokazanie ich przydatności w miejscach, o których mało kto uczy.

A teraz proszę rozwiązać zadanie prostszą metodą i sobie porównać.

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 11:35

Słusznie, dzięki

wojteczek03 · Post autor: **wojteczek03** » 28 gru 2013, o 11:47

to z pochodnymi całkiem przydatne. postaram się wykorzystywać

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 18:10

Mam pytanie.
Przy badaniu przebiegu zmienności funkcji, funkcja ma ekstremum dla \(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
Ekstremum zwykle nie jest dla tego samego argumentu co miejsce zerowe funkcji.
A przecież wielomian jest rodzajem funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
Więc dlaczego w miejscu zerowym wielomianu pierwsza pochodna jest równa zero ?
Będę wdzięczna za wyjaśnienie

Edit: Już rozumiem, że dla pierwiastków parzystokrotnych to jest prawdziwe, , bo parzystokrotne miejsce zerowe jest równocześnie ekstremum funkcji.
Ale co dla pierwiastków nieparzystokrotnych?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2013, o 18:34

Powiedzmy, że \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\) krotnym wielomianu \(\displaystyle{ w}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ w(x)=p(x)(x-a)^n}\), gdzie \(\displaystyle{ p(a)\ne 0}\). Włączamy w to też \(\displaystyle{ n=0}\) i wynika stąd że \(\displaystyle{ w(a)\ne 0}\). Pierwiastek zerokrotny - nie jest pierwiastkiem.

Licząc kolejne pochodne mamy, że \(\displaystyle{ w(a)=w'(a)=\dots=w^{(n-1)}(a)=0}\), ale \(\displaystyle{ w^{(n)}(a)\ne 0}\). W szczególności wynika stąd, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ w(x)}\) ma ekstremum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ a}\) określone znakiem \(\displaystyle{ w^{(n)}(a)}\) (dodatnie - minimum, ujemne - maksimum). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, w punkcie \(\displaystyle{ a}\) będzie punkt przegięcia.

Nie wszystkie ekstrema wielomianu przypadają w miejscach zerowych. Także nie wszystkie punkty przegięcia. Ale widać stąd, że pierwiastki wielokrotne są punktami krytycznymi. Są tu albo punkty przegięcia, albo ekstrema.

Zobaczmy w sposób szkolny: jeśli mamy pierwiastek parzystokrotny, to wykres wielomianu "odbija się" od osi \(\displaystyle{ x}\). Więc mamy \(\displaystyle{ w(a)=0}\), ale \(\displaystyle{ w(x)}\) ma ten sam znak w sąsiedztwie \(\displaystyle{ a}\). Jest ekstremum. Z punktami przegięcia też tak zawalczymy, ale trzeba więcej porozumować. Musimy wywnioskować zmianę znaku drugiej pochodnej. To jest do zrobienia zauważając, że pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-krotny wielomianu jest zarazem \(\displaystyle{ n-1}\) krotnym pierwiastkiem pochodnej i \(\displaystyle{ n-2}\) krotnym drugiej pochodnej. Jeśli \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste to i \(\displaystyle{ n-2}\) nieparzyste i druga pochodna zmienia znak, mamy punkt przegięcia.

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 18:56

A czy można wykorzystać to, że wartość pierwszej pochodnej jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu, w danym punkcie ?
Wtedy w ekstremum styczna ma wsp kierunkowy \(\displaystyle{ 0}\) bo jest równoległa do \(\displaystyle{ OX}\), ale w punkcie przegięcia styczna też ma wsp kierunkowy równy \(\displaystyle{ 0}\) bo też jest równoległa do \(\displaystyle{ OX}\)

Dziękuję

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2013, o 18:57

Wtedy wykres drugiej pochodnej przechodzi na drugą stronę osi w przypadku puntu przegięcia.

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 18:58

Tak, ale styczna do wykresu w tym punkcie też jest pozioma.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2013, o 19:07

W czym to przeszkadza? Zobacz na \(\displaystyle{ y=x^3}\) w zerze.

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 19:08

Nie, no właśnie nie przeszkadza tylko pomaga.