Matematyka.pl

Witam, mam przedstawić w postaci ułamków prostych:

\(\displaystyle{ \frac{x^2 - 6x + 12}{\left( 2x + 6\right) \left( x^2 - 32\right)\left( x - 8\right) }}\)

Problem polega na tym że wychodzi mi \(\displaystyle{ 28 = 704 D}\) przy podstawieniu \(\displaystyle{ x = 8}\) i wynik wychodzi.. dziwny.

Pokaż obliczenia. Nawiasem mówiąc, co dziwnego jest w liczbie \(\displaystyle{ \frac{28}{704}}\)?

Wolfram alpha mnie trochę zwiódł, wynik D chyba jest dobry, mam problem jedynie w obliczeniu B i C - sporo rachunków ale powinienem dać radę, dzięki

bobobob pisze:Witam, mam przedstawić w postaci ułamków prostych:

\(\displaystyle{ \frac{x^2 - 6x + 12}{\left( 2x + 6\right) \left( x^2 - 32\right)\left( x - 8\right) }}\)

Problem polega na tym że wychodzi mi \(\displaystyle{ 28 = 704 D}\) przy podstawieniu \(\displaystyle{ x = 8}\) i wynik wychodzi.. dziwny.

EDIT: Tak, zapomniałem o metodzie Heaviside'a, wcześniej napisałem tu głupotę. Ale nie pamiętam już czy tę metodę z zakrywaniem nawiasów można stosować gdy występuje \(\displaystyle{ x^2}\), więc może stąd masz dziwne wyniki.

Dla sprawdzenia, ma wyjść \(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{39}{253} \\ B=- \frac{43}{368} \\ C= \frac{19}{46} \\ D= \frac{7}{176} \end{cases}}\) czyli \(\displaystyle{ D}\) masz dobrze.

Więc mój problem polega na tym czy powinienem rozkładać to w ten sposób:
a) \(\displaystyle{ \frac{A}{2x + 6} + \frac{Bx + C}{x^2 - 32} + \frac{D}{x - 8} = \frac{x^2 - 6x + 12}{\left( 2x + 6\right)\left( x^2 - 32\right)\left( x - 8\right) }}\)
czy może bez 2:
b) \(\displaystyle{ \frac{A}{2\left( x + 3\right) } + \frac{Bx + C}{x^2 - 32} + \frac{D}{x - 8} = \frac{x^2 - 6x + 12}{\left( 2x + 6\right)\left( x^2 - 32\right)\left( x - 8\right) }}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{A}{ x + 3\right) } + \frac{Bx + C}{x^2 - 32} + \frac{D}{x - 8} = \frac{x^2 - 6x + 12}{\left( 2x + 6\right)\left( x^2 - 32\right)\left( x - 8\right) }}\)
czy
c) \(\displaystyle{ \large\frac{x^2 - 6x + 12}{\left( 2x + 6\right) \left( x^2 - 32\right)\left( x - 8\right) }=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4\sqrt{2}}+\frac{C}{x+4\sqrt{2}}+\frac{D}{x-8}\\}\)

w metodzie a) wychodzi że \(\displaystyle{ A = \frac{39}{506}}\)

metoda c). Mają być wielomiany nierozkładalne.

A pomyślałeś jak w przypadku a) potem scałkujesz \(\displaystyle{ \frac{Bx+C}{x^2-32}}\) ?

Okej a dlaczego \(\displaystyle{ x + 3}\), co z tą dwójką?

\(\displaystyle{ 2x+6=2(x+3)}\), więx wszystko jedno, czy zapiszesz ułamek prosty jako
\(\displaystyle{ \frac{A}{2x+6)}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{A'}{x+3}}\), gdzie \(\displaystyle{ A'=A/2}\)

Więc \(\displaystyle{ A = \frac{39}{506}}\) , D = \(\displaystyle{ \frac{7}{88}}\), B = \(\displaystyle{ \frac{39 \sqrt{2} - 198 }{1312}}\), C = \(\displaystyle{ \frac{201 \sqrt{2} + 342 }{1888}}\) ?
Proszę o sprawdzenie, mogę rozpisać moje żmudne działania...

A komu by się chciało to sprawdzać? Sorry, ale ludzie na forum maja ciekawsze pomysły na zycie. MAsz parę możliwości: Sprowadź prawą strone do wspólnego mianownika i zobacz, czy wyszło to samo co po lewej. Albo każ to zrobic np. wolframowi

bobobob pisze:Więc \(\displaystyle{ A = \frac{39}{506}}\) , D = \(\displaystyle{ \frac{7}{88}}\), B = \(\displaystyle{ \frac{39 \sqrt{2} - 198 }{1312}}\), C = \(\displaystyle{ \frac{201 \sqrt{2} + 342 }{1888}}\) ?
Proszę o sprawdzenie, mogę rozpisać moje żmudne działania...

Rozpisz, bo wychodzą kosmiczne wyniki

dla \(\displaystyle{ x = 4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 54 - 24 \sqrt{2} = B \cdot 8 \sqrt{2} \left( 4 \sqrt{3} + 4\right) \left( 4 \sqrt{2} - 8 \right)}\)

\(\displaystyle{ 54 - 24 \sqrt{2} = B 8 \sqrt{2} \left( 12 - 20 \sqrt{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ 54 - 24 \sqrt{2} = B \left( 96 \sqrt{2} - 320\right)}\)

\(\displaystyle{ B = \frac{27 - 12 \sqrt{2} }{48 \sqrt{2} - 160 }}\) - po skróceniu

i teraz usuwając niewymierność z mianownika i skracając wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{156 \sqrt{2} - 792 }{5248}}\)

bobobob pisze:dla \(\displaystyle{ x = 4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 54 - 24 \sqrt{2} = B \cdot 8 \sqrt{2} \left( 4 \sqrt{3} + 4\right) \left( 4 \sqrt{2} - 8 \right)}\)

Lewa strona źle! Prawa też źle, ale pokaż do czego podstawiasz ten \(\displaystyle{ x}\).

Lewa ma być \(\displaystyle{ 44 - 24 \sqrt{2}}\), podstawiam do \(\displaystyle{ x^2 - 6x + 12}\), prawą podstawiam pod \(\displaystyle{ \left( x - 8\right)\left( x + 3\right) \left( x + 4 \sqrt{2} \right)}\)
Więc po poprawie lewej strony, z prawej napisałem literówkę ale liczyłem tak samo wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{27 \sqrt{2} - 74 }{656}}\)