Matematyka.pl

Witam, mam do obliczenia jedną całkę, doszedłem do postaci
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{s}(s+1)}ds}\)
ma ktoś pomysł co zrobić z tym? całka wyjściowa to
\(\displaystyle{ \int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}}}\)

Najpierw podstawienie \(\displaystyle{ 1-e^{-2x}=\sin^2 t}\) i otrzymamy \(\displaystyle{ \int\frac{ \mbox{d}t}{\cos t}}\).
Następnie podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ u=\tan \frac{t}{2}}\).

Możesz mi dokładnie opisać jak to podstawienie ma wyglądać?
przy \(\displaystyle{ 1 - e^{-2x} = sin^2t}\) dostaję \(\displaystyle{ e^{-2x}dx = \sin{t}\cos{t} \ dt}\)

Mamy więc: \(\displaystyle{ e^{-2x} \mbox{d}x = \sin{t}\cos{t} \mbox{d}t}\).
Z naszego podstawienia \(\displaystyle{ 1 - e^{-2x} = \sin^2t}\) mamy: \(\displaystyle{ e^{-2x} = 1-\sin^2t=\cos^2 t}\)
Teraz przekształcając i wyznaczając \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\)ze wzoru po różniczkowaniu mamy:
\(\displaystyle{ \mbox{d}x =\frac{\sin t\cos t \mbox{d}t}{e^{-2x}}}\) i wstawiając za \(\displaystyle{ e^{-2x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ \mbox{d}x =\frac{\sin t\cos t \mbox{d}t}{\cos^2 t}=\tan t \mbox{d}t}\)
Podstawiając wszystko do naszej całki dostajemy:
\(\displaystyle{ \int\frac{ \mbox{d}t}{\cos t}}\)

Lirdoner pisze:Witam, mam do obliczenia jedną całkę, doszedłem do postaci
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{s}(s+1)}ds}\)
ma ktoś pomysł co zrobić z tym? całka wyjściowa to
\(\displaystyle{ \int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}}}\)

Szkoda, że nie napisałeś podstawienia.

Można zapisać

\(\displaystyle{ \int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}}\dd x=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}\sqrt{1-e^{-2x}}}\dd x}\)

i po podstawieniu \(\displaystyle{ t=e^{-x}}\) przejść do całki

\(\displaystyle{ \int\frac{\dd t}{t\sqrt{1-t^2}}}\)

którą po podstawieniu \(\displaystyle{ s=\frac{1}{t}}\) sprowadza się do całki

\(\displaystyle{ \int\frac{\dd s}{\sqrt{s^2-1}}}\)

a ta jest już łatwa (tablice albo Euler albo hiperboliczne).

Ten sposób jest dla tych co nie lubią podstawień trygonometrycznych

No dobra to korzystając z tego pierwszego sposobu rozwiązując całkę \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\cos{t}}}\) i stosując wzory uniwersalne otrzymuję całkę \(\displaystyle{ 2\int\frac{du}{1-u^2}}\) teraz robiłem to na ułamki proste i otrzymałem \(\displaystyle{ \int\frac{du}{1-u} - \int\frac{du}{1+u}}\) no i tutaj już prosto te całki to logarytmy naturalne. Czy to jest dobry wynik?

Jaki wyszedł Ci końcowy wynik w zależności od zmiennej \(\displaystyle{ x}\)?

Lirdoner pisze:Witam, mam do obliczenia jedną całkę, doszedłem do postaci
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{s}(s+1)}ds}\)
ma ktoś pomysł co zrobić z tym? całka wyjściowa to
\(\displaystyle{ \int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}}}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{s}(s+1)}ds\\
u^2=s\\
2u \mbox{d}u= \mbox{d}s\\
\int{\frac{2u \mbox{d}u}{u\left( u^2+1\right) }}=2\int{\frac{ \mbox{d}u}{u^2+1}}\\
=2\arctan{\left( u\right) }+C\\
\int\frac{1}{\sqrt{s}(s+1)}ds=2\arctan{\left( \sqrt{s} \right) }+C\\}\)

\(\displaystyle{ \int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}} \mbox{d}x =\\
\int{ \frac{ 1 }{ \sqrt{1-e^{-2x}} } \mbox{d}x }\\
1-e^{-2x}=t^2\\
1-t^2=e^{-2x}\\
-2t \mbox{d}t=-2e^{-2x} \mbox{d}x \\
t \mbox{d}t=e^{-2x} \mbox{d}x \\
t \mbox{d}t=\left( 1-t^2\right) \mbox{d}x\\
\mbox{d}x =\frac{t \mbox{d}t}{1-t^2} \\
\int{\frac{1}{t} \cdot \frac{t}{1-t^2} \mbox{d}t }=\int{ \frac{1}{1-t^2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{1}{\left( 1-t\right)\left( 1+t\right) } \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{2}\int{\frac{\left( 1-t\right)+\left( 1+t\right) }{\left( 1-t\right)\left( 1+t\right) }\mbox{d}t}\\
=\frac{1}{2}\left( \int{ \frac{ \mbox{d}t }{1+t} }+\int{ \frac{ \mbox{d}t }{1-t} }\right) \\
=\frac{1}{2}\ln{\left| \frac{1+t}{1-t} \right| }+C\\
=\frac{1}{2}\ln{\left| \frac{\left( 1+t\right)^2 }{1-t^2} \right| }+C\\
\int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}} \mbox{d}x =\frac{1}{2}\ln{\left| \frac{\left( 1+ \sqrt{1-e^{-2x}} \right)^2 }{1-\left( 1-e^{-2x}\right) } \right| }+C\\
\int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}} \mbox{d}x =\frac{1}{2}\ln{\left| \frac{\left( 1+ \sqrt{1-e^{-2x}} \right)^2 }{e^{-2x} } \right| }+C\\
\int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}} \mbox{d}x =\ln{\left| \frac{1+ \sqrt{1-e^{-2x}} }{e^{-x} } \right| }+C\\
\int\sqrt{\frac{1}{1-e^{-2x}}} \mbox{d}x =\ln{\left| 1+ \sqrt{1-e^{-2x}}\right| }+x+C}\)

Jeśli już stosowac podstawienie Eulera to lepiej to drugie (to z wyrazem wolnym)

yorgin pisze:Ten sposób jest dla tych co nie lubią podstawień trygonometrycznych

Ci co nie lubią podstawień trygonometrycznych mogą podstawic za pierwiastek
chociaż podstawienie Eulera dośc dobrze tutaj pasuje

mariuszm pisze:Jeśli już stosowac podstawienie Eulera to lepiej to drugie (to z wyrazem wolnym)

Nie ma to niestety żadnego znaczenia. Jeżeli ktoś potrafi to da sobie radę w każdej sytuacji.