Zawody Matemat. im M Rejewskiego
: 26 kwie 2007, o 21:53
Otóz tegoz roku miała miejsce edycja zawodów matemat. ale ta od ubiegłego maja one juz swoja oficjalna nazwe, zadania były dwu stopniowe patrz nizej. z podzialem tj. na klasy, a szczególowe omowienie konkursu mozna obejrzec w najnowszym numerze takze szkice rozwiazan oraz tez na stronie Lo gdzie sie one odbyly , linki ponizej, zadanka sie mi bardzo spodobały jak zwykle sa oryginalne i całkiem ciekawe i mysle ze warte sa zaatakowania dla osob trenujacych przed OM czy innymi zmaganiami tego typu.nie wspominajac o userach z forum. Jesli ewnetualnie ktos brał w nich juz udział, no to moze on podzielic sie tutaj swymi wrazeniami...etc,
links
spol. szkolna...konkursy
Klasa I
1. Średnia kontharmoniczna, Średnią kontrharmoniczną liczb dodatnich x, y nazywamy liczbę \(\displaystyle{ C=\frac{x^2+y^2}{x+y}}\). wykazać,
ze \(\displaystyle{ A^2 \geq HC}\), gdzie A oznacza średnią arytmetyczna, zaś H srednią harmoniczną liczb x i y.
2. Dzisiejsze równanie Czy istnieją liczby calkowite nieujemne n takie, że: \(\displaystyle{ 2^{2n} +6^{2n} =2006^{n+1}}\)? Odpowiedz uzasadnic
3. Nierówność dla kotangensów: Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) oznaczają miary kątów wewnętrznych trójkata o polu S i obwodzie 2p, to
\(\displaystyle{ ctg(\frac{\alpha}{2}) ctg(\frac{\beta}{2}) ctg(\frac{\gamma}{2}) \leq \frac{p^6}{27S^3}}\)
4. Pole figury Wyznaczyć pole figury płaskiej F, wiedząc, zę:
\(\displaystyle{ F= \{ (x,y) : x sin(y) \leq 0, i \ |x| \leq 1 \ i \ |y| \leq 1003\pi \ i \ x,y \in R \}}\)
Klasa II
1. Równość Wyznaczyc wszystkie liczby całkowite dodatnie n, t ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) t. ze \(\displaystyle{ x_1....x_n=1}\),
zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3} +....+\frac{1}{1+x_{n-1}+x_{n-1}x_n}+ \frac{1}{1+x_n+x_nx_1}=1}\)
2. Ostatnia cyfra Dowieść, ze żadna z cyfr 2, 4, 7, 9 nie moze byc ostatnia cyfra liczby
1+3+5+....+(2n+1) - 1 - 2-3 -....-n
gdzie n jest liczba całkowita dodatnia.
3. Nierówność Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, takich ze a+b+c=1, spełniona jest nierównosc:
\(\displaystyle{ \frac{a(b+1)}{b+c}+ \frac{b(c+1)}{c+a}+\frac{c(a+1)}{a+b} \geq 2}\)
4. Czworokąt i okrąg Dany jest czworokąt wypukły ABCD o prostopadlych przekatnych AC i BD, przecinajcych sie w O.Niech punkty K, L, M, N beda rzutami prostokatnymi punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, AD. Wykazać, ze na czworokacie KLMN mozna opisać okrąg. Uzasadnic, na odpowednim przykladzie, ze załozenie o prostopadłosci przekatnych jest istotne i nie mozna go pominac.
links
spol. szkolna...konkursy
Klasa I
1. Średnia kontharmoniczna, Średnią kontrharmoniczną liczb dodatnich x, y nazywamy liczbę \(\displaystyle{ C=\frac{x^2+y^2}{x+y}}\). wykazać,
ze \(\displaystyle{ A^2 \geq HC}\), gdzie A oznacza średnią arytmetyczna, zaś H srednią harmoniczną liczb x i y.
2. Dzisiejsze równanie Czy istnieją liczby calkowite nieujemne n takie, że: \(\displaystyle{ 2^{2n} +6^{2n} =2006^{n+1}}\)? Odpowiedz uzasadnic
3. Nierówność dla kotangensów: Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) oznaczają miary kątów wewnętrznych trójkata o polu S i obwodzie 2p, to
\(\displaystyle{ ctg(\frac{\alpha}{2}) ctg(\frac{\beta}{2}) ctg(\frac{\gamma}{2}) \leq \frac{p^6}{27S^3}}\)
4. Pole figury Wyznaczyć pole figury płaskiej F, wiedząc, zę:
\(\displaystyle{ F= \{ (x,y) : x sin(y) \leq 0, i \ |x| \leq 1 \ i \ |y| \leq 1003\pi \ i \ x,y \in R \}}\)
Klasa II
1. Równość Wyznaczyc wszystkie liczby całkowite dodatnie n, t ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) t. ze \(\displaystyle{ x_1....x_n=1}\),
zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3} +....+\frac{1}{1+x_{n-1}+x_{n-1}x_n}+ \frac{1}{1+x_n+x_nx_1}=1}\)
2. Ostatnia cyfra Dowieść, ze żadna z cyfr 2, 4, 7, 9 nie moze byc ostatnia cyfra liczby
1+3+5+....+(2n+1) - 1 - 2-3 -....-n
gdzie n jest liczba całkowita dodatnia.
3. Nierówność Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, takich ze a+b+c=1, spełniona jest nierównosc:
\(\displaystyle{ \frac{a(b+1)}{b+c}+ \frac{b(c+1)}{c+a}+\frac{c(a+1)}{a+b} \geq 2}\)
4. Czworokąt i okrąg Dany jest czworokąt wypukły ABCD o prostopadlych przekatnych AC i BD, przecinajcych sie w O.Niech punkty K, L, M, N beda rzutami prostokatnymi punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, AD. Wykazać, ze na czworokacie KLMN mozna opisać okrąg. Uzasadnic, na odpowednim przykladzie, ze załozenie o prostopadłosci przekatnych jest istotne i nie mozna go pominac.