Matematyka.pl

Udowodnić podpunkt 5 z kompendium:

79869.htm

Cytuje:

5. Kombinacja liniowa zmiennych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny

Z: \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(m_1, \sigma_1^2) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{N}(m_2, \sigma_2^2)}\)

T: \(\displaystyle{ X+Y \sim \mathcal{N}(m_1+m_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2+2Cov(X, Y))}\)

Wskazówka:

Rozważyć:

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0, 1)}\)

\(\displaystyle{ Y}\) - ma rozkład dwupunktowy: \(\displaystyle{ Y=1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ Y=-1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ Z:=YX}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) - zmienne losowe o rozkładzie normalnym, zależne.

Jaki rozkład ma zmienna losowa

\(\displaystyle{ X+Z}\)

I jak tam Ktoś ma jakieś przemyślenia w tym temacie

Sprawa aktualna bo zdaje się, że oszukujecie ludzi

Masz wskazowkę czemu z niej nie skorzystasz?

I kto oszukuje ludzi?

Oszukuje ten kto wprowadza w błąd

-- 20 sty 2014, o 13:21 --

Alef pisze: Wskazówka:

Rozważyć:

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0, 1)}\)

\(\displaystyle{ Y}\) - ma rozkład dwupunktowy: \(\displaystyle{ Y=1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ Y=-1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ Z:=YX}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) - zmienne losowe o rozkładzie normalnym, zależne.

Jaki rozkład ma zmienna losowa

\(\displaystyle{ X+Z}\)

Wyżej wymieniona zmienna losowa \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład normalny, gdyż:

\(\displaystyle{ F_{Z}(z)=P(Z \le z)=P(Z \le z|Y=1)P(Y=1)+P(Z \le z|Y=-1)P(Y=-1)=\frac{1}{2}P(Z \le z|Y=1)+\frac{1}{2}P(Z \le z|Y=-1)}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}P(X \le z)+\frac{1}{2}P(X \le z)=\frac{1}{2}F_{X}(z)+\frac{1}{2}F_{X}(z)=F_{X}(z)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ F_{X}(z)}\) - dystrybuanta rozkładu normalnego.

\(\displaystyle{ F_{Z}(z)}\) - dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\)

Wniosek 1:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ Z=XY}\) ma rozkład normalny.

Wniosek 2:

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są zależne.

Wniosek 3:

\(\displaystyle{ X+Z}\) - zmienna losowa, która jest sumą dwóch zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.

Wniosek 4:

\(\displaystyle{ X+Z}\) - ma rozklad normalny według kompedium 79869.htm (punkt 5)

Fakt:

\(\displaystyle{ X+Z}\) - ma tak naprawdę rozkład mieszany (dyskretno-ciągły), gdzie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\), bo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) mamy

\(\displaystyle{ X+Z=X+XY=X-X=0}\)

Oznacza to, że w kompedium jest błąd.

Pozdrawiam serdecznie,
Alef

I jak tam? Przemyśleliście sprawę?
Dobrze jest czy źle?

Dziękujemy za zwrócenie uwagi. Niestety w założeniach owej własności zabrakło jednego słowa - "łączny" - które oczywiście jest wymagane, normalność rozkładów brzegowych jest niewystarczająca, potrzebujemy normalności rozkładu łącznego.

Artykuł już poprawiony. Gdyby coś jeszcze budziło podejrzenia to proszę pisać, jednak pisząc artykuły na forum dołożyłem wszelkiej staranności, także żywię nadzieję, że więcej podobnych wpadek już nie powinno być.

Dziękuję.

BTW tutaj:

79843.htm

XI Rozkład Poissona

W 1 brakuje słowa "niezależne", z której zresztą korzystasz w dowodzie.

Nie chce mi się sprawdzać całego kompedium ale być może jeszcze gdzieś są błędy. Wyjdzie w praktyce tj. przy rozwiązywaniu zadań.

Ależ oczywiście, że jest takie założenie, nawet pogrubione.

Emiel Regis pisze:

Wstęp

Sądzę że warto zebrać w jednym miejscu powiązania między różnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Często w zadaniach są potrzebne różne zależności i dobrze jest je mieć wszystkie razem dlatego też poniżej wypiszę te, z których osobiście korzystałem oraz te które są mi znane. Do niektórych postaram się dopisać dowody podanych zależności, w miarę upływu czasu powinno ich być coraz to więcej.

Wszędzie poniżej zakładam, że zmienne losowe, które występują w założeniach są niezależne.

\(\displaystyle{ \hline}\)

A to zwracam honor!