Matematyka.pl

Witam,

Chciałbym na łamach tego tematu pokonać pewne problemy, a mianowicie:

1)
Jeśli mamy, że \(\displaystyle{ \lim (x_n - a) = g}\)
To skąd możemy wywnioskować \(\displaystyle{ \lim(x_n)}\) ?

2)

Niech \(\displaystyle{ x_n \rightarrow a.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x_n}\) możemy przedstawić jako:
\(\displaystyle{ x_n = a + \alpha_n}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_n \rightarrow 0.}\)

Ale i na odwrót:
Tzn, że jeśli \(\displaystyle{ x_n}\) daje się tak przedstawić - za pomocą stałej a oraz ciągu zbieżnego do zera to ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\).
Jakieś uzasadnienie do tego mógłbym zobaczyć - nie koniecznie jakieś bardzo formalne.

3)

Niech ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) ma granicę a. Dla dowolnego \(\displaystyle{ p < a}\) (lub \(\displaystyle{ q > a}\)) łatwo jest znaleźć liczbę \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) w ten sposób, że, by było \(\displaystyle{ a - \epsilon > p}\) (lub \(\displaystyle{ a + \epsilon < q}\))

Może ktoś powiedzieć co znaczy to zdanie ?
O co w tym chodzi ?

ad 1 granica stałej to stała, jak nie wierzysz wykaż z definicji

ad 2 to się przydaje czasem w liczeniu granicy funkcji powiem. Wykaż to z definicji, posłuż, się tym co udowodniłeś w pkt 1, że granicą stałej jest stała

ad 3 chodzi o to, żę wyrazy w granicy są w epsilonowym pasie narysuj sobie

ad 1 granica stałej to stała, jak nie wierzysz wykaż z definicji

Nie możesz jaśniej ?

ad 3 chodzi o to, żę wyrazy w granicy są w epsilonowym pasie narysuj sobie

Nie rozumiem dalej.

matinf pisze:

ad 1 granica stałej to stała, jak nie wierzysz wykaż z definicji

Nie możesz jaśniej ?

Granicą stałej jest stała: Granica \(\displaystyle{ 7}\) to \(\displaystyle{ 7}\) granica \(\displaystyle{ \pi}\) to \(\displaystyle{ \pi}\) granica \(\displaystyle{ 75785}\)to \(\displaystyle{ 75785}\)

\(\displaystyle{ |7 - 7| < \epsilon}\)
\(\displaystyle{ 0 < \epsilon}\)

matinf pisze:

ad 3 chodzi o to, żę wyrazy w granicy są w epsilonowym pasie narysuj sobie

Nie rozumiem dalej.

... rgence.gif

matinf pisze: Chciałbym na łamach tego tematu pokonać pewne problemy

Które jak zauważyłem wynikają prawdopodobnie z braku elementarnej wiedzy.

matinf pisze: 1)
Jeśli mamy, że \(\displaystyle{ \lim (x_n - a) = g}\)
To skąd możemy wywnioskować \(\displaystyle{ \lim(x_n)}\) ?

Z definicji granicy ciągu.

matinf pisze: 2)
Niech \(\displaystyle{ x_n \rightarrow a.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x_n}\) możemy przedstawić jako:
\(\displaystyle{ x_n = a + \alpha_n}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_n \rightarrow 0.}\)

Ale i na odwrót:
Tzn, że jeśli \(\displaystyle{ x_n}\) daje się tak przedstawić - za pomocą stałej a oraz ciągu zbieżnego do zera to ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\).
Jakieś uzasadnienie do tego mógłbym zobaczyć - nie koniecznie jakieś bardzo formalne.

Z definicji granicy oraz wzoru na granicę sumy ciągów.

matinf pisze: 3)
Niech ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) ma granicę a. Dla dowolnego \(\displaystyle{ p < a}\) (lub \(\displaystyle{ q > a}\)) łatwo jest znaleźć liczbę \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) w ten sposób, że, by było \(\displaystyle{ a - \epsilon > p}\) (lub \(\displaystyle{ a + \epsilon < q}\))

Co to "zadanie" ma wspólnego z granicami? To zwykłe elementarnie nierówności między liczbami rzeczywistymi.