Matematyka.pl

Kulka wisi na nitce o długości L. Jaką NAJMNIEJSZĄ poziomą prędkość v należy jej nadać, aby ruszała się po okręgu w płaszczyźnie pionowej?

Wystarczy obliczyć dla jakiej prędkości v w najwyższym punkcie toru siła ciężkości będzie równoważona przez siłę odśrodkową:
\(\displaystyle{ m \frac{v^2}{L} = mg \\
v = \sqrt{Lg}}\)

1. W układzie kulki działa siła odśrodkowa
3. Nie chodziło o wysokość, lecz o promień okręgu, po którym porusza się kulka
4. Ze złego rozumowania
Hmm... może tak:
To co poprzednio obliczyłem, to prędkość w najwyższym punkcie toru. Aby otrzymać szukaną prędkość należy dodać jescze:
\(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = 2mgL\\
v = 2 \sqrt{gL}}\)

Końcowy wynik to \(\displaystyle{ v = 3\sqrt{gL}}\)

luka52 pisze:Wystarczy obliczyć dla jakiej prędkości v w najwyższym punkcie toru siła ciężkości będzie równoważona przez siłę odśrodkową:
\(\displaystyle{ m \frac{v^2}{L} = mg \\
v = \sqrt{Lg}}\)

omg, luka52, obawiam się, że to nieprawda. nie wiem jeszcze jak zrobić to zadanie, ale ty się na pewno mylisz, bo:

1) na kulkę nie działa żadna "siła odśrodkowa". działają tylko dwie siły: ciężar i siła dośrodkowa
2) v to prędkość w najniższym punkcie toru lotu, a ty przyjąłeś, że w najwyższym, co jest oczywistym fałszem (w najwyższym punkcie toru lotu prędkość będzie znacznie mniejsza)
3) w najwyższym punkcie toru lotu kulka jest na wysokości 2L a nie L
4) skąd założenie o równoważeniu się sił

to takie moje przemyślenia, czekam na kolejne pomysły.

A nie można tego rozwiązać z zasady zachowania energii? Na dole przyjmujemy 0... Kulka ma na dole \(\displaystyle{ E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}}\) i \(\displaystyle{ E_{p}=0}\), zaś u góry prędkość musi być =0 ponieważ szukamy minimalnej prędkości poziomej... zatem u góry kulka posiada \(\displaystyle{ E_{p}=mg\cdot 2L}\) i \(\displaystyle{ E_{k}=0}\)
No i z zasady zachowania energii...
\(\displaystyle{ E_{k}=E_{p} v=2\sqrt{gL}}\)

jacekvool pisze:

luka52 pisze:Wystarczy obliczyć dla jakiej prędkości v w najwyższym punkcie toru siła ciężkości będzie równoważona przez siłę odśrodkową:
\(\displaystyle{ m \frac{v^2}{L} = mg \\
v = \sqrt{Lg}}\)

omg, luka52, obawiam się, że to nieprawda. nie wiem jeszcze jak zrobić to zadanie, ale ty się na pewno mylisz, bo:

1) na kulkę nie działa żadna "siła odśrodkowa". działają tylko dwie siły: ciężar i siła dośrodkowa
2) v to prędkość w najniższym punkcie toru lotu, a ty przyjąłeś, że w najwyższym, co jest oczywistym fałszem (w najwyższym punkcie toru lotu prędkość będzie znacznie mniejsza)
3) w najwyższym punkcie toru lotu kulka jest na wysokości 2L a nie L
4) skąd założenie o równoważeniu się sił

to takie moje przemyślenia, czekam na kolejne pomysły.

Zależy jaki obierzemy układ odniesienia:)

Semyazz pisze:zaś u góry prędkość musi być =0

Nie bo u góry prędkość nie będzie zerowa.

No w sumie racja ;] Jak u góry byłoby v=0 to spadłaby ;P
Zatem jeśli kulka u góry ma prędkość większą od 0 to u góry ma energię kinetyczną+potencjalną, zaś na dole tylko potencjalną... Zatem to co napisałeś (luka52) wyżej chyba jest po części dobrze tylko nie zjarzyłem czemu dodałeś po prostu do prędkości u góry \(\displaystyle{ 2\sqrt{gL}}\) i wyszła ci ta na dole... ja bym to tak zrobił... chociaż nie jestem tego jakoś pewien ;] Miło by było jakbyście wskazali błąd jeśli takowy popełniłem ;]
\(\displaystyle{ v - szukana\\
F_{d}=mg\\
\frac{mv_{2}^{2}}{L}=mg\\
v_{2}^{2}=\sqrt{gL}\\
E_{1}=E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}\\
E_{2}=E_{k_{2}}+E_{p}=\frac{mv^{2}_{2}}{2}+mg2L\\
E_{1}=E_{2}}\)

luka52, w swoim pierwszym poście miał racje i się z nim zgadzam że siła odśrodkowa musi co najmniej równoważyć siłę ciężkości.

W tym co wyżej napisałem biorę pod uwagę to założenie ;]
A co do autora topic-u to w inercjalnym układzie to równoważenie by wyglądało tak (bo jakoś nieinercjalne układy rzadko rozważam ;] )
To jest w górnym punkcie...
\(\displaystyle{ F_{n}-sila \ nacisku\\
F_{d}=F_{n}+mg\\
jesli\\
F_{n}=0\\
F_{d}=mg\\}\)

Niestet ale nie, dobre rozw. podał @Semyazz (tylko tu:

Semyazz pisze: \(\displaystyle{ v_{2}^{2}=\sqrt{gL}\\}\)

ma drobną literówkę), ma wyjść \(\displaystyle{ v = \sqrt{5gL}}\)
P.S. Zaś Twój błąd Luka jest w tym równaniu:

luka52 pisze: \(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = 2mgL\\}\)

dlatego zle wyszło

No faktycznie ten kwadrat niepotrzebny ;]
powinno być: \(\displaystyle{ v_{2}=\sqrt{gL}}\) ;]
Ale dobrze że ostateczny wynik się zgadza ;]