Wysokość trójkąta

[marek252]

Witam.
Mam takie zadanie: Jest trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(1,2,3), B=(-2,0,3), C=(0,3,2)}\), wyznacz jego wysokość upuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).
W jaki sposób zrobić coś takiego? Od czego zacząć? Prosiłbym o napisanie kilku kroków co robić.
Pozdrawiam

[chris_f]

Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\), potem wyznacz równanie płaszczyzny prostopadłej do tej wyznaczonej prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ C}\).
Znajdujesz punkt przecięcia się wyznaczonej płaszczyzny i prostej, niech to będzie np. punkt \(\displaystyle{ D}\).
No i odległość \(\displaystyle{ CD}\) jest szukaną wysokością.

[marek252]

A nie ma jakiejś prostszej metody? Jak znaleźć równanie prostej w \(\displaystyle{ R ^{3}}\)? W\(\displaystyle{ R ^{2}}\) potrafię.

[a4karo]

Umiesz policzyć pole tego trójkąta? Dlugość AB tez znasz...

[chris_f]

Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}=[-3,-2,0]}\) jest wektorem kierunkowym szukanej prostej i jednocześnie wektorem normalnym szukanej płaszczyzny. Mamy zatem prostą
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=1-3t\\ y=2-2t\\ z=3\end{cases}}\).
Płaszczyzna ma równanie
\(\displaystyle{ -3x-2y+D=0}\)
a ponieważ ma przechodzić przez \(\displaystyle{ C}\) to mamy
\(\displaystyle{ -6+D=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ -3x-2y+6=0}\).
Teraz podstaw do równania płaszczyzny współrzędne z równania prostej, wylicz \(\displaystyle{ t}\) i masz współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\).
No a odległość, to chyba wiadomo.