Matematyka.pl

Nie mogę nic wymyśleć oraz znaleźć, proszę o wskazówki.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n! \cdot \left( \frac{e}{n} \right) ^n}\)
oraz analogiczna:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n!}{n^n}}\)

2. Wystarczy rozpisać licznik i mianownik i można zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n}}\).
1. Wzór Stirlinga (choć to może trochę nieeleganckie rozwiązanie).

Rozumiem, że nie ma bardziej oczwyistego rozwiązania.
1.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n! \cdot (\frac{e}{n})^n=\lim_{ n\to \infty }\frac{ n!} {(\frac{n}{e})^n}=\lim_{ n\to \infty }\frac{ n!} {(\frac{n}{e})^n \cdot \sqrt(2 \pi n)} \cdot \sqrt(2 \pi n)= \infty}\)
I rozumiem, że to dąży do 1, a pierwiastek jest zbieżny do nieskończoności.

2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n!}{n^n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^{n}} \le \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ n! \le n^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3\cdot ... \cdot n \le n \cdot n \cdot ...\cdot n}\)
Widać że jest prawdziwe. Zatem jeśli ciąg ogranicząjący z góry dąży do 0. To z twierdzenia o trzech ciągach pierwszy ciąg też będzie dążył do zera, bo jego wyrazy są tylko dodatnie.

Dobrze to formułuję ?

Może i jest bardziej oczywiste, ale nie przychodzi mi do głowy. I warto by gdzieś na boku zaznaczyć, że ten ułamek dąży do 1 i dlaczego tak.