Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania: W trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość z kąta prostego która podzieliła go na dwa trójkąty. Wiedząc, że obwody ich wynoszą odpowiednio a i b obliczyć obwód trójkąta ABC.
Wiem, że utworzone trójkąty są podobne ale nie potrafię znaleźć trzeciej danej aby ułożyć jakąś proporcję. Co z tym zrobić?

Są jeszcze podobne do wyjściowego trójkąta.

Wiem,wszystkie trzy są do siebie podobne.

Możesz jeszcze wykorzystać twierdzenie Pitagorasa jak Ci danych brakuje.

oznaczmy sobie przyprostokątne jako \(\displaystyle{ p,q}\) i odcinki na przeciwprostokątnej przez \(\displaystyle{ r,s}\)
wysokość jako \(\displaystyle{ h}\)
wiemy, że:
\(\displaystyle{ p+r+h = a}\)
\(\displaystyle{ q+s+h = b}\)
\(\displaystyle{ pq = rh + sh}\)
możesz jeszcze z Pitagorasa coś powyciągać:
\(\displaystyle{ p^2 + q^2 = (r+s)^2\\
r^2 + h^2 = p^2\\
s^2 + h^2 = q^2}\)

Ja bym wyznaczyła stosunek przeciwprostokątnej małego trójkąta do p-prostokątnej dużego trójkąta jako stosunek ich obwodów, analogicznie p-prostokątne średniego i dużego trójkąta jako stosunek ich obwodów, potem z tw Pitagorasa dla dużego trójkąta.

Ponewor dobrze pisze. Trójkąty są podobne, więc ich obwody są proporcjonalne do długości ich przeciwprostokątnych. Stałą proporcjonalności oznaczmy przez \(\displaystyle{ \lambda}\). Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą długościami przyprostokątnych dużego trójkąta, czyli przeciwprostokątnych małych trójkątów. Wtedy obwód dużego trójkąta jest równy \(\displaystyle{ \lambda\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\lambda x)^2+(\lambda y)^2}=\sqrt{a^2+b^2}}\).

Niestety, mimo podpowiedzi, zadania tego nie potrafię rozwiązać. "norwimaj" podał prawidłowe rozwiązanie ale niestety nie wiem skąd się to bierze. Gdy byś był tak uprzejmy i podał dokładniejsze rozwiązanie byłbym wdzięczny.

Jeżeli krótszą przyprostokątną danego trójkąta oznaczysz jako \(\displaystyle{ x}\), dluższą jako \(\displaystyle{ y}\), a jego obwód jako \(\displaystyle{ O}\)
to masz
\(\displaystyle{ \frac{x}{a} = \frac{c}{O}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{b} = \frac{c}{O}}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2c^2}{O^2} + \frac{b^2c^2}{O^2} =c^2}\)
Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ c^2}\) i mamy
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{O^2} =1}\)

No tak, teraz to wszystko jasne i oczywiste. Serdecznie dziękuję za pomoc.