Matematyka.pl

Cześć
Mam takie zadanko
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}(\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}-x)}\)
Skoro tak to korzystam z tego faktu, że \(\displaystyle{ \lim a-b=\lim a -\lim b}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}x-\lim_{x\to+\infty} x=\lim_{x\to+\infty}( x-x)=0}\)
Ja rozumiem, że wyrażenie \(\displaystyle{ \infty-\infty}\) to nieoznaczoność, ale skoro to takie same elementy i rosną w taki sam sposób, to dlaczego nie mogę tak zrobić? Proszę nie podawać mi rozwiązania alternatywnego, ale wyjaśnijcie mi gdzie robię błąd.
Pozdrawiam

ten wzór odnosi się tylko do granic skończonych

Co prawda tak się nie robi - sposób rozumowania jest błędny właśnie z powodu nieoznaczoności wyrażenia \(\displaystyle{ \infty-\infty}\), jednakże zdanie

rosną w taki sam sposób

jest poniekąd prawdziwe, obie te funkcje mają to samo asymptotyczne tempo wzrostu:

\(\displaystyle{ f(x)\sim g(x)}\), to jest \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}=1}\)

gdzie u nas \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3}{(x+1)^2}}\), \(\displaystyle{ f(x)=x}\). To jednak wciąż nie pozwala wnioskować o granicy różnicy!

Funkcje \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ g}\) nie są zbieżne w nieskończoności, natomiast funkcja różnicy - już tak:

\(\displaystyle{ (f-g)(x)=-\frac{x (2 x+1)}{(x+1)^2}}\)

I granicy tego wyrażenia poszukujemy.