Strona 1 z 1
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 19:24
autor: VillagerMTV
Znajdź odwzorowanie liniowe:
\(\displaystyle{ V_{1}=kerf=<(2,1)> \ w \ \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ V_{2}=imf=<(3,4)> \ w \ \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\) jest liniowe.
Pomoże ktoś?:)
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 19:34
autor: yorgin
\(\displaystyle{ f}\) jest postaci \(\displaystyle{ f(x,y)=(ax+by,cx+dy)}\).
Podstawiając warunek na jądro dostaniemy, że \(\displaystyle{ 0=f((2,1))=(2a+b,2c+d)}\).
Podobnie, wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ (x,y)}\) istnieje \(\displaystyle{ \alpha}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y)=\alpha (3,4)}\).
Połącz teraz oba warunki, by wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c, d}\).
Edit: poprawa jądra.
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 19:49
autor: VillagerMTV
A gdzie używamy \(\displaystyle{ "=<(2,1)>"}\)?
Czyli z pierwszego dostajemy dwa równania:
\(\displaystyle{ 3=3a+4b}\) i \(\displaystyle{ 4=3c+4d}\).
A drugie nie wiem jak wykorzystać. Każdy x jest przemnożeniem 3 przez skalar?
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 20:57
autor: yorgin
VillagerMTV pisze:A gdzie używamy \(\displaystyle{ "=<(2,1)>"}\)?
Przepraszam, źle przepisałem warunek na jądro i wyszły totalne głupoty. Poprawiłem go w poprzednim poście, tzn
\(\displaystyle{ 0=f((2,1))=(2a+b,2c+d)}\)
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 21:15
autor: VillagerMTV
Właśnie coś mi nie pasowało .
Czyli ma być:
\(\displaystyle{ 2=2a+b}\), \(\displaystyle{ 1=2c+d}\). A drugi warunek jak rozpisać? Że \(\displaystyle{ x=3\alpha}\) i \(\displaystyle{ y=4 \alpha}\)?
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 21:56
autor: yorgin
Nie nie nie...
Z warunku na jądro masz
\(\displaystyle{ (2a+b,2c+d)=(0,0)}\), czyli \(\displaystyle{ 2a+b=0=2c+d}\).
Z warunku na obraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3\alpha = ax+by\\ 4\alpha = cx+dy\end{cases}}\)
Wyznaczamy z pierwszego równania \(\displaystyle{ \alpha}\) i podstawiamy do drugiego - pozbyliśmy się alfy. Dostajemy coś takiego:
\(\displaystyle{ cx+dy=\frac{4}{3}ax+\frac{4}{3}by}\)
Z dowolności \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) musi być
\(\displaystyle{ c=\frac{4}{3}a, d=\frac{4}{3}b}\)
Do obrazu można też podejść alternatywnie. Skoro \(\displaystyle{ f=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}}\) oraz obraz jest jednowymiarowy, to rząd \(\displaystyle{ f}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a więc wiersze macierzy są liniowo zależne. Współczynnik proporcjonalności bierzemy z obrazu i dostajemy to samo, co poprzednio.
Żmudne to. Nie znam niestety żadnych gotowych wzorków i technik - powyższe wymyśliłem na poczekaniu.
Odwzorowanie liniowe
: 3 gru 2013, o 22:09
autor: VillagerMTV
Dziękuję bardzo
Odwzorowanie liniowe
: 6 gru 2013, o 21:56
autor: MikolajB
mam pytanie co do wyznaczenia współczynników a, b, c, d. z tych czterech równań dostajemy układ nieoznaczony, rozumiem, że trzeba zatem wyliczyć jedną literke za pomocą innych tak? ale co wtedy z nią robię?