Matematyka.pl

Witam,
mam pytanie do zadania:
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\). Znaleźć rozkład warunkowy \(\displaystyle{ X|X+Y}\).
Mógłbym policzyć dystrybuantę \(\displaystyle{ X,X+Y}\) i dystrybuantę \(\displaystyle{ X+Y}\) z funkcji splotu, ale wolałbym nie korzystać z tego wzoru. Czy można to obliczyć w jakiś inny sposób.
Dziękuję za wszelkie sugestie.

\(\displaystyle{ X+Y = \mathbb{E} (X+Y|X+Y) = \mathbb{E} (X|X+Y) + \mathbb{E} (X|X+Y) \stackrel{D}{=} 2 \mathbb{E} (X|X+Y)}\)

Stąd \(\displaystyle{ \mathbb{E} (X|X+Y) \sim \frac{X+Y}{2}}\).

Adifek pisze:\(\displaystyle{ X+Y = \mathbb{E} (X+Y|X+Y) = \mathbb{E} (X|X+Y) + \mathbb{E} (X|X+Y) \stackrel{D}{=} 2 \mathbb{E} (X|X+Y)}\)

Stąd \(\displaystyle{ \mathbb{E} (X|X+Y) \sim \frac{X+Y}{2}}\).

Zgadzam się z tym, ale tematem zadania było obliczenie rozkładu \(\displaystyle{ X|X+Y}\) a nie znalezienie \(\displaystyle{ \mathbb{E} (X|X+Y)}\) więc jak to teraz powiązać ?

A czym wg Ciebie to się różni?

Adifek pisze:A czym wg Ciebie to się różni?

rozkład zadajemy np poprzez gęstość lub dystrybuantę, a warunkowa wartość oczekiwana jest zmienną losową, istotna różnica

Zmienną losową, która ma szukany rozkład. Co więcej, podałem jaki ma rozkład