Matematyka.pl

Mam takie zadanie i nie wiem za bardzo jak sie do niego zabrać

Obwód prądu stałego składa się ze źródła prądu o sile elektromotorycznej E i oporze wewnętrznym r oraz obciążenia R. pokazać, że moc wydzielana na oporze R jest największa gdy R=r. Ile wynosi ta moc maksymalna?

Szukanie maksimum lokalnego :

\(\displaystyle{ P=I^{2}R}\)
\(\displaystyle{ I=\frac{E}{r+R}}\)

\(\displaystyle{ P(R)=(\frac{E}{r+R})^{2}R}\)
Pochodna:
\(\displaystyle{ P'(R)=(\frac{E^{2}(R+r)^{2}-E^{2}R(2R+2r)}{(r+R)^{4}})}\)

Maksimalną moc funkcja \(\displaystyle{ P(R)}\) przyjmuje dla takiego \(\displaystyle{ R_{0}}\), gdy \(\displaystyle{ P'(R_{0})=0}\), czyli:

\(\displaystyle{ P'(R_{0})=0 \iff \frac{E^{2}(R_{0}+r)^{2}-E^{2}R_{0}(2R_{0}+2r)}{(r+R_{0})^{4}}=0 E^{2}(R_{0}+r)^{2}-E^{2}R_{0}(2R_{0}+2r)=0}\)

Po redukcji wyrazów podobnych wychodzi \(\displaystyle{ R^{2}+r^{2}=2R^{2}}\)


Pozdrawiam

Wielkie dzieki!! mam nadzieje ze mi się przyda