Matematyka.pl

Witam,
Mam problem z pewnymi trzema zadaniami.
1. Niech \(\displaystyle{ o\left( x,y\right) =\left( e^{u+v}+e^{u-v}, e^{u+v}-e^{u-v}\right)}\) dla \(\displaystyle{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R}^{2}}\). Znaleźć \(\displaystyle{ o\left( \mathbb{R}^{2}\right)}\) oraz zbadać, czy \(\displaystyle{ o}\) jest dyfeomorfizmem.
oraz
2. Znaleźć dyfeomorfizm pewnego przedziału \(\displaystyle{ P \in \mathbb{R}^{2}}\) na obszar \(\displaystyle{ G \in \mathbb{R}^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ G=\left\{ \left( x,y\right): y^{2}<x<2y^{2}, 2x^{2}<y<3x^{2} \right\}}\)

Pierwsze zadanie niezbyt rozumiem.
Drugie:
Niech \(\displaystyle{ G=\left\{ \left( x,y\right): y^{2}<x<2y^{2}, 2x^{2}<y<3x^{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}<x<2y^{2} \rightarrow 1<\frac{x}{y^{2}}<2}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}<y<3x^{2} \rightarrow 2< \frac{y}{x^{2}}<3}\)
Niech \(\displaystyle{ \varphi: P \xrightarrow{1-1, na} G}\), \(\displaystyle{ \psi: G \xrightarrow{1-1, na} P}\)

\(\displaystyle{ u= \frac{x}{y^{2}}}\)

\(\displaystyle{ v= \frac{y}{x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ P=\left\{ \left( u, v \right): 1<u<2, 2<v<3 \right\}}\)
Teraz wydaje mi się, że powinienem byłbym wyliczyć x,y w zależności od u,v. Zapisać \(\displaystyle{ \varphi\left( u,v\right)=\left( \omega_{1}\left( u,v\right) , \omega_{2} \left( u,v \right) \right)}\), policzyć wyznacznik macierzy Jakobiego czy jest to dyfeomorfizm.
Niestety coś się gubię przy wyliczaniu x,y w zależności od u, v. Pomógłby mi ktoś z Was?

3. Wykazać, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi\left( r, \alpha, \beta \right)=\left( r\cos{\beta}\cos{\alpha}, r\cos{\beta}\sin{\alpha}, r\sin{\beta}\right)}\) jest dyfeomorfizmem przedziału \(\displaystyle{ P=\left\{ \left( r, \alpha, \beta\right): r>0, -\pi<\alpha<\pi, -\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2} \right\}}\)
na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} \setminus \left\{ \left( x,0,z\right): x \le 0 \right\}}\)
Niestety, nie wiem, jak się za to zabrać.

Z góry serdecznie dziękuję za pomoc

Pierwsze wrzucę jak wstanę, tj. o ludzkiej porze (wskazówka - wyłącz e^u i zobacz na co przechodzą poziome proste)
W 3. "fi" to parametryzacja sferyczna zobacz w książkach

Czy chodzi Tobie o to, żeby przedstawić \(\displaystyle{ o\left( x,y\right) =\left( e^{u+v}+e^{u-v}, e^{u+v}-e^{u-v}\right)=\left( e^{u}\left( 2 \cosh{v}\right), e^{u}\left( 2 \sinh{v}\right) \right)}\)?

3.Liczę Jacobian
\(\displaystyle{ \det \mathbf{J}_\Phi= \begin{vmatrix}\cos\beta \cos\alpha & -r\sin\alpha \cos\beta & -r\sin\beta \cos\alpha \\
\cos\beta \sin\alpha & r\cos\alpha \cos\beta & -r\sin\beta \sin\alpha \\
\sin\beta & 0 & r\cos\beta \\
\end{vmatrix}}\)
Po uproszczeniu (jeśli się gdzie nie pomyliłem):
\(\displaystyle{ r^2 \cos\beta \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ r}\) jest niezerowe, a \(\displaystyle{ \cos\beta > 0 \forall_{\left( r, \alpha, \beta\right) \in G }}\)
Czyli odwzorowanie jest dyfeomorfizmem
Prawda, czy też źle to rozwiązałem?

3cie ok, rozniczka istnieje, jest nieosobliwa, ok => to mowi na pewno o różnowartościowości, zapewne żeby wykazać 'na' trzeba skorzystać z twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym.
w 1wszym zobacz jak wyglądają \(\displaystyle{ \cosh}\) i \(\displaystyle{ \sinh}\), bo to \(\displaystyle{ e^u}\) 'nie zmienia nic' jeśli chodzi o obraz zbioru - jest zarówno w pierwszej współrzędnej jak i drugiej, dla każdego \(\displaystyle{ u \in \RR}\) jest też \(\displaystyle{ e^u>0}\)