Matematyka.pl

Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie mi zadań o następujących treściach:
1)Z talii 24 kart wybieramy 5.Ile jest takich wyborów w których otrzymamy 1 parę i 1 trójkę
2)Jaką największą liczbę trójkątów można otrzymać z 10 linii prostych , jeśli boki trójkątów zawierają się w prostych?
3)Oblicz ile przekątnych ma n-kąt wypukły
4)Pewien nie pusty zbiór ma 211 swoich , co najwyżej 2-elementowych podzbiorów.Ile elementów ma ten zbiór??
5)Na ile sposobów można podzielić grupę 8-osobową na 2 grupy:
a)5-osobową i 3-osobową b)równolicznie
6)Na ile sposobów można rozmieścić 30 książek na 4 półkach tak aby na pierwszej półce było 10 książek ,drugiej 8 , trzeciej 7 , a czwartej 5??
7)Ile istnieje funkcji :
a)rosnących f:{1,2,...,k} -> {1,2,...,n} dla k= {1,2,3,4} mających 2-elementowy zbiór wartości ??
8)Mamy r jednakowych kul i n komórek . Ile jest takich rozmieszczeń kul w komórkach że żadna komórka nie jest pusta ??
9) Mamy 30 piłek,, które wrzucamy do 5 pudeł. Ile jest takich rozmieszczeń piłek w pudłach że żadne pudełko nie jest puste??
10)Czterech pasażerów wsiada do windy na parterze,która zatrzymuje się na każdym z 5 pięter domu.Ile jest możliwych sposobów wysiadania tych pasażerów , jesli :
a)każdy pasażer moze wysiaść na dowolnym piętrze
b)każdy pasażer wysiądzie na innym piętrze
c)wszyscy pasażerowie opuszczą windę na 2 róznych piętrach

AD 3
Kazdy punkt tworzy w takim n-kącie przekatna z n-3 punktami.
\(\displaystyle{ \frac{n\cdot (n-3)}{2}}\)

AD.10

a) Każdy pasażer wysiadzie na jesnym z 5 pięter, więc możliwości jest:

5*5*5=125

b) Pierwszy pasażer ma "do wyboru" 5 pięter, drugi 4 piętra (nie może wysiąść na piętrze I pasażera), a trzeci pasażer 3 piętra, więc:

5*4*3=60

c) Najpierw "wybierzmy" te dwa piętra. Czyli kombinacja

\(\displaystyle{ {5\choose 2} = 10}\)

Teraz "dobieramy pasażerów do pięter" (na każdym piętrze może wysiąść 1 lub 2 lub 3 pasażerów). Możliwości jest: 4*4*6=96

Ostateczny wynik: 10*96=960

Tarnoś Twoje rozwiązania są błędne.
"Czterech pasażerów wsiada do windy", a nie tak jak policzyłeś - trzech.

a) Stosujemy wariacje z powtórzeniami gdzie k=4 i n=5:
5*5*5*5=625

b) Stosujemy wariacje bez powtórzeń gdzie k=4 i n=5:
5! = 120

c) Stosujemy wariacje z powtórzeniami gdzie k=4 i n=2:
(2*2*2*2 - 2) * 10 = 14 * 10 = 140

"-2" ponieważ są dwie możliwości, że jedno z dwóch pięter byłoby puste
"* 10" ponieważ jest dziesięć sposobów obierania dwóch pięter spośród pięciu

Co do tych rozwiązań jestem w 101% pewien, że są poprawne.
Jeśli chcesz to rozwiąże kolejne zadania...

Pozdrawiam.

Aha, mam nadzieje, ze wiesz, ze \(\displaystyle{ {n \choose k} \equiv C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\), \(\displaystyle{ n\geq k}\)?

AD 4

Liczba k-elementowych podzbiorow zbioru n-elementowego to \(\displaystyle{ n \choose k}\). Co najwyzej 2-elementowych = 0-elementowych (zbior pusty;]), 1-elementowych i 2-elementowych, ulozymy wiec rownanie ze wzgledu na zmienna n

\(\displaystyle{ {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} = 211}\)

Teraz wystarczy tylko rozpisac:

\(\displaystyle{ 1 + n + \frac{n!}{2!(n-2)!} = 211}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}n(n-1) + n - 210 = 0}\)
\(\displaystyle{ n^2 - n + 2n - 420 = 0}\)
\(\displaystyle{ n^2 + n -420 = 0}\)
Dalej sobie sam policz:)

AD 5

Wybierzmy 5 osob z osmiu, czyli mozliwosci jest \(\displaystyle{ C_8^5}\), i jednoczesnie sposrod pozostalych wybierzmy 3 osoby (\(\displaystyle{ C_3^3}\)), czyli mozliwosci jest razem \(\displaystyle{ C_8^5\cdot C_3^3=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 3}\cdot 1 = 7\cdot 8 9}\).

Jak 2 takie same to analogicznie \(\displaystyle{ C_8^4\cdot C_4^4}\)

Bardzo bym był wdzięczny Cino (albo komukolwiek innemu chętnemu) za pomoc w rozwiązaniu tych wszystkich zadań bo sam sobie z nimi nie daje rady

1)Z talii 24 kart wybieramy 5.Ile jest takich wyborów w których otrzymamy 1 parę i 1 trójkę
Mamy 24 karty, czyli 4*6 (6 wartosci kart, po 4 karty jednej wartosci)
aby otrzymac 1 pare, to wybieramy najpierw wartosc:
\(\displaystyle{ 6\choose1}\)
potem wybieramy dwie karty tej wartosci:
\(\displaystyle{ {6\choose1}\cdot{4\choose2}= 6\cdot6}\)
aby wybrac nastepnie trojke, z pozostalych 5 wartosci wybieramy 1 i potem trzy karty tej wartosci
\(\displaystyle{ {5\choose1}\cdot{4\choose3}= 5\cdot4}\)
Czyli w koncu mozliwosci wybrania kart w podanym ukladzie jest
\(\displaystyle{ \left( {6\choose1}\cdot{4\choose2} \right) ft( {5\choose1}\cdot{4\choose3} \right)= 6\cdot6\cdot5\cdot4 = 720}\)

2)Jaką największą liczbę trójkątów można otrzymać z 10 linii prostych , jeśli boki trójkątów zawierają się w prostych?
Trojkaty beda mialy wierzcholki w punktach przeciecia sie prostych, jezeli kazda prosta przecina sie z kazda (maksymalny przypadek) to ile jest punktow przeciecia? (podobnie jak przy liczeniu przekatnych wielokata)
a teraz trzeba z tych punktow wybierac po trzy, zeby zrobic trojkat.
ODP: 14190

6)Na ile sposobów można rozmieścić 30 książek na 4 półkach tak aby na pierwszej półce było 10 książek ,drugiej 8 , trzeciej 7 , a czwartej 5??
Trzeba wybrac najpierw 10 ksiazek z 30 (kombinacja 10 z 30) potem poustawiac je na pierwszej polce (permutacja 10), potem wybrac 8 ksiazek z pozostalych 20 (kombinacja) i poustawiac (permutacja), znow wybrac 7 z 12, ustawic w porzadku, pozostale 5 ksiazek ustawic w porzadku. Zapisz odpowiednie kombinacje i permutacje, wymnoz to wszystko przez siebie.
ODP:26525285981*1022

7)Ile istnieje funkcji :
a)rosnących f:{1,2,...,k} -> {1,2,...,n} dla k\(\displaystyle{ \small\leq}\)n ??
b)f:{1,2,3} -> {1,2,3,4} mających 2-elementowy zbiór wartości ??
b) zobacz zadanie https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=3735
a)wybieramy wartosci funkcji na \(\displaystyle{ n\choose k}\) sposobow, potem najmniejsza z wybranych wartosci bedzie wartoscia dla 1, nastepna dla 2 itd az najwieksza z wybranych wartosci bedzie wartoscia funkcji w punkcie k. Czyli mozliwosci jest \(\displaystyle{ n\choose k}\)

8)Mamy r jednakowych kul i n komórek . Ile jest takich rozmieszczeń kul w komórkach że żadna komórka nie jest pusta ??
najpierw takie oznaczenia:
|**|*|***||*| oznacza takie rozmieszczenie 7 kul (gwiazdki) w 5 komorkach (miejsca pomiedzy kreskami), ze w kolejnych komorkach jest 2,1,3,0,1 kul. Zauwaz ze wszystkie takie zapisy zlozone z kresek i gwiazdek (i takie, ze na poczatku i na koncu jest kreska) mozemy interpretowac jako jakies rozmieszczenie kul w komorkach.
Interesuje nas taki zapis, ze zadne dwie kreski nie sa obok siebie.
Miejsc pomiedzy gwiazdkami jest r-1, kresek do wstawienia jest n-1 (w zapisie jest n+1 kresek, ale dwie sa ustalone na poczatku i na koncu), zatem wszystkich mozliwosci jest \(\displaystyle{ {r-1}\choose{n-1}}\)

9) Mamy 30 piłek,, które wrzucamy do 5 pudeł. Ile jest takich rozmieszczeń piłek w pudłach że żadne pudełko nie jest puste??
To jest zadanie 8 przy konkretnych danych r=30, n=5