Przedstawiam mojego faworyta, zadanie z pewnego zbioru zadań dla klasy 3. liceum.
Rozwiąż graficznie układy równań:
a)\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2+y^2=1\\
y=\log_{\frac12}(x+2);
\end{cases}}\)
b)\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=\left(\frac12\right)^{x-3}\\
y=\log_3x;
\end{cases}}\)
c)\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=\frac37x+3\frac27\\
y=\log_2(x+4)+2;
\end{cases}}\)
d)\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=|\log_3(x-1)|+1\\
y=-(x-10)^2+3.
\end{cases}}\)
Do przykładu b) nie mam zastrzeżeń. Po starannym narysowaniu wykresów obu funkcji łatwo znajdujemy ich punkt przecięcia
\(\displaystyle{ (3,1)}\). Więcej punktów przecięcia być nie może, bo jedna funkcja jest malejąca, druga rosnąca.
W przykładzie c) też łatwo znajdujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ (-3,2)}\) i
\(\displaystyle{ (4,5)}\). Najprostsze uzasadnienie, że nie ma więcej rozwiązań, korzysta z wklęsłości funkcji
\(\displaystyle{ y=\log_3}\). Ale w liceum się tego nie omawia albo omawia się później, więc biedni uczniowie muszą się namęczyć, żeby poprawnie to zadanie rozwiązać.
W przykładzie a) są rozwiązania
\(\displaystyle{ (-1,0)}\) i
\(\displaystyle{ (0,-1)}\). Nie mam pomysłu na zgrabne uzasadnienie, że nie ma tych rozwiązań więcej, a będąc licealistą na pewno w ogóle bym nie umiał tego uzasadnić. Zadanie jest zdecydowanie ponad poziom.
Z przykładem d) nie poradzili sobie nawet autorzy owego zbioru zadań, gdyż w odpowiedziach podają jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (10,3)}\). Nie dziwne, bo na drugie nie sposób podać ładnego wzoru. Zapewne we wzorcowym rozwiązaniu tego zadania oba punkty przecięcia zlewają się w jeden.