Matematyka.pl

Urna \(\displaystyle{ A}\) zawiera \(\displaystyle{ 3}\) białe i \(\displaystyle{ 2}\) czarne kule, a urna \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ 2}\) białe i \(\displaystyle{ 3}\) czarne kule. Wylosowano \(\displaystyle{ 4}\) razy ze zwracaniem jedną kulę z urny \(\displaystyle{ A}\) oraz jedną kulę z urny \(\displaystyle{ B}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród pięciu wylosowanych kul są co najmniej dwie kule białe.

Chyba najłatwiej przez przeciwne, czyli wylosowano albo \(\displaystyle{ 0}\) białych albo \(\displaystyle{ 1}\).

Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ P = 1-[ \left( \frac{2}{5}^\right)^4 \cdot \frac{2}{5}+ (\frac{2}{5})^3 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}+ (\frac{2}{5})^4 \cdot \frac{3}{5}]=1- \frac{152}{3125}= \frac{2973}{3125}}\)
W odpowiedziach winno być \(\displaystyle{ \frac{2757}{3125}}\)

Czy jest to poprawnie rozwiązane?

Oznaczmy
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, w którym wylosowano \(\displaystyle{ 4}\) czarne albo \(\displaystyle{ 1}\) białą i \(\displaystyle{ 3}\) czarne, wówczas
\(\displaystyle{ A=\left\{ (B,C,C,C), (C,B,C,C)...\right\}}\)

mam trzy sytuacje, są to zdarzenia przeciwne (otrzymamy 0 białych lub jedną białą):

Urna \(\displaystyle{ A: CCCC}\)
Urna \(\displaystyle{ B: B}\)
lub
Urna \(\displaystyle{ A: CCCB}\)
Urna \(\displaystyle{ B: C}\)
lub
Urna A:\(\displaystyle{ CCCC}\)
Urna B:\(\displaystyle{ C}\)

Aj, mój błąd, jest \(\displaystyle{ 5}\) losowań, nie \(\displaystyle{ 4}\)

\(\displaystyle{ A=\left\{ (B,C,C,C,C), (C,B,C,C,C), (C,C,B,C,C), (C,C,C,B,C), (C,C,C,C,B), (C,C,C,C,C)\right\}}\)

losujemy ze zwracaniem, więc myślę, że nie ma znaczenia czy za pierwszym razem czy za drugim wylosujemy kulę czarną.

Kolejność ma znaczenie, bo musisz odjąć te wszystkie wyniki, to nie kombinacje.

\(\displaystyle{ P = 1-[ \left( \frac{2}{5}^\right)^4 \cdot \frac{2}{5}+4 \cdot (\frac{2}{5})^3 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}+ (\frac{2}{5})^4 \cdot \frac{3}{5}]=1- \frac{368}{3125}= \frac{2757}{3125}}\)

Ok rozumię i dziękuję za pomoc.

W pierwszym przypadku mamy 4 możliwości, że z urny A otrzymano trzy czarne i jedną kulę białą stąd mnożenie przez 4.