Matematyka.pl

Nie wiem jak ruszyć te dwa zadania:

1. Dowieść, że jeśli wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) spełniają następujące własności \(\displaystyle{ a_{0} = 2}\), \(\displaystyle{ a_{1} = {3}}\), \(\displaystyle{ a_{n+2} = 3a_{n+1}-2a_{n}}\), to \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n}+1}\)

Myślałem o użyciu indukcji ale nie mam pojęcia jak przejść ze wzoru \(\displaystyle{ a_{n+2} = 3a_{n+1}-2a_{n}}\) do \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n}+1}\) (chodzi o tę potęgę w tym drugim wzorze).

2. Dowieść, że jeśli wyrzy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) spełniają następujące własności \(\displaystyle{ a_{1} = 1, a_{2} = 2}\), \(\displaystyle{ a_{n+2} = a_{n+1}+a_{n}}\), to \(\displaystyle{ a_{n}<\left(\frac{7}{4}\right)^{n}}\)

Co do tego zadania to niestety nie mam żadnego pomysłu.

Proszę o wskazówki jak rozwiązać te dwa zadania.

Zastosuj funkcje tworzące albo równanie charakterystyczne.

Pierwsze indukcyjnie. Dowód przebiega bardzo standardowo.-- 23 lis 2013, o 15:30 --Chociaż będzie trzeba stosować zasadę indukcji porządkowej, więc nie tak w 100% standardowo.

W pierwszym zadaniu zastosowałem równanie charakterystyczne. Dziękuję. Czy w tym drugim zadaniu ciąg ma wyraz \(\displaystyle{ a_{0}}\)? Jeśli się podstawi \(\displaystyle{ n = 0}\) to wychodzi \(\displaystyle{ a_{0} = 1}\) ale jak dalej chcę liczyć równaniem charakterystycznym to coś przestaje mi pasować...