Matematyka.pl

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30 cm, a ramię 25 cm. Środek podstawy tego trójkąta jest środkiem okręgu stycznego do ramion trójkąta. Oblicz długość promienia tego okręgu.-- 21 lis 2013, o 17:07 --moze mi ktos powiedziec dlaczego kat DFC ma 90 stopni ?
... jkacie.jpg

Lyzka pisze:
moze mi ktos powiedziec dlaczego kat DFC ma 90 stopni ?
... jkacie.jpg

Bo promień okręgu poprowadzony do punktu styczności stycznej z okręgiem tworzy z nią kąt prosty.

Promień okręgu policzysz z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ CDF}\).

a mozna to udowodnic jakos ?

Nie musisz tego udowadniać. To, że promień jest prostopadły do stycznej w punkcie jej styczności z okręgiem jest znaną własnością okręgu.

ale jednak mozna udownodnic?

Można udowodnić.

Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{r}=[r\cos x,r\sin x]}\) jest wektorem promienia danego okręgu, a \(\displaystyle{ (r\cos x,r\sin x)}\) jest punktem, w którym szukamy stycznej, to tastyczna ma kierunek wyznaczony przez wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[-r\sin x, r\cos x]}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \vec{r}\cdot \vec{v} =0}\) a więc istotnie prosta zawierająca promień i prosta zawierająca styczną są prostopadłe.

Wybaczcie, ale nie chciało mi się myśleć nad dowodem geometrycznym.

Ja podam dowód geometryczny. Z założenia mamy, że prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Zauważmy, że każdy inny punkt tej prostej leży poza kołem, gdyż w przeciwnym przypadku prosta miałaby dwa punkty wspólne z okręgiem. Oznacza to, że odległość każdego punktu tej prostej poza punktem styczności od środka okręgu jest większa od promienia i równa promieniowi w punkcie styczności. Powołamy się teraz na taką własność:
Jeśli \(\displaystyle{ A'}\) jest rzutem prostopadłym punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\), to odległość dowolnego punktu prostej \(\displaystyle{ l}\) od punktu \(\displaystyle{ A}\) jest większa bądź równa od długości odcinka \(\displaystyle{ A'A}\) (dokładniej mówiąc jest ostro większa poza punktem \(\displaystyle{ A'}\)).
Łatwo zauważyć, że na prostej może być tylko jeden punkt o takiej własności. Wniosek: Punkt styczności jest rzutem prostopadłym środka na tę prostą.

matmatmm, skąd wiesz, że rzut środka okręgu na prostą jest punktem styczności?

Rozpiszę to dokładniej. Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu, \(\displaystyle{ l}\) będzie prostą styczną oraz \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem styczności. Ponadto niech \(\displaystyle{ A}\) będzie rzutem prostopadłym punktu \(\displaystyle{ O}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\). Pokażę, że \(\displaystyle{ A=P}\).
W poprzednim poście pokazałem, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ M\in l, M\neq P}\) zachodzi \(\displaystyle{ OM>OP=r}\).
Z drugiej strony z własności rzutu prostopadłego dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ N\in l, N\neq A}\) zachodzi \(\displaystyle{ ON>OA}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A\neq P}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ OA>OP}\) i \(\displaystyle{ OP>OA}\), co jest sprzecznością.