Matematyka.pl

Udowodnij przez indukcję że dla \(\displaystyle{ n>1}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \le n! \le \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \sqrt{n} e}\)

Męcze się z tym już długo i nie mogę wpaść na żaden pomysł, ktoś pomoże ?

Pokaże na przykład tę lewą część nierówności.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza zachodzi.
Zakładam więc, że nierówność \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \le n!}\) jest spełniona dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Pokażemy tezę dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Mamy, więc:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{e} \right) ^{n+1} = \left( \frac{n+1}{e} \right) ^{n} \cdot \left( \frac{n+1}{e} \right) \cdot \left( \frac{n}{n} \right) ^{n}=\left( \frac{n+1}{n}\right)^{n} \cdot \left( \frac{n}{e}\right) ^{n} \cdot \frac{n+1}{e} \le \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \cdot n! \cdot \frac{n+1}{e} = \frac{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} }{e} \cdot \left( n+1 \right) ! \le \left( n+1 \right) !}\)

Ostatnia nierówność wynika ze tego, że licznik ułamka nie przekracza liczby \(\displaystyle{ e}\).